x+2*y+3*z=11 2*x+3*y+4*z=12 3*x+4*y+z=13

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + 2*y + 3*z = 11
$$3 z + x + 2 y = 11$$
2*x + 3*y + 4*z = 12
$$4 z + 2 x + 3 y = 12$$
3*x + 4*y + z = 13
$$z + 3 x + 4 y = 13$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -9$$
=
$$-9$$
=
-9

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0

$$y_{1} = 10$$
=
$$10$$
=
10
Метод Крамера
[TeX]
$$3 z + x + 2 y = 11$$
$$4 z + 2 x + 3 y = 12$$
$$z + 3 x + 4 y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = 11$$
$$2 x + 3 y + 4 z = 12$$
$$3 x + 4 y + z = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2}\\x_{3} + 3 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\12\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 4\\3 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & 2 & 3\\12 & 3 & 4\\13 & 4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -9$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 11 & 3\\2 & 12 & 4\\3 & 13 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 10$$
$$x_{3} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 11\\2 & 3 & 12\\3 & 4 & 13\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 z + x + 2 y = 11$$
$$4 z + 2 x + 3 y = 12$$
$$z + 3 x + 4 y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = 11$$
$$2 x + 3 y + 4 z = 12$$
$$3 x + 4 y + z = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 11\\2 & 3 & 4 & 12\\3 & 4 & 1 & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -2 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 11\\0 & -1 & -2 & -10\\3 & 4 & 1 & 13\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -8 & -20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -8 & -20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 11\\0 & -1 & -2 & -10\\0 & -2 & -8 & -20\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -1 & -9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1 & -9\\0 & -1 & -2 & -10\\0 & -2 & -8 & -20\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1 & -9\\0 & -1 & -2 & -10\\0 & 0 & -4 & 0\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-2\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -9\\0 & -1 & -2 & -10\\0 & 0 & -4 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -9\\0 & -1 & 0 & -10\\0 & 0 & -4 & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 9 = 0$$
$$- x_{2} + 10 = 0$$
$$- 4 x_{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 10$$
$$x_{3} = 0$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -9.00000000000000
y1 = 10.0000000000000
z1 = -2.067951531382569e-25
x2 = -9.00000000000000
y2 = 10.0000000000000
z2 = 0.0
x3 = -9.00000000000000
y3 = 10.0000000000000
z3 = 1.550963648536927e-25
x4 = -9.00000000000000
y4 = 10.0000000000000
z4 = -4.135903062765138e-25
x5 = -9.00000000000000
y5 = 10.0000000000000
z5 = -1.550963648536927e-25
x6 = -9.00000000000000
y6 = 10.0000000000000
z6 = -1.033975765691285e-25
x7 = -9.00000000000000
y7 = 10.0000000000000
z7 = 4.135903062765138e-25
x8 = -9.00000000000000
y8 = 10.0000000000000
z8 = 5.169878828456423e-26
x9 = -9.00000000000000
y9 = 10.0000000000000
z9 = 1.033975765691285e-25
x10 = -9.00000000000000
y10 = 10.0000000000000
z10 = 7.754818242684634e-26