5*x-6*y=7 10*x+6*y=8

Вы ввели

5*x - 6*y = 7

$$5 x - 6 y = 7$$

10*x + 6*y = 8

$$10 x + 6 y = 8$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$5 x - 6 y = 7$$
$$10 x + 6 y = 8$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x - 6 y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x - 6 y + 6 y = - -1 \cdot 6 y + 7$$
$$5 x = 6 y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(6 y + 7\right)$$
$$x = \frac{6 y}{5} + \frac{7}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$10 x + 6 y = 8$$
Получим:
$$6 y + 10 \left(\frac{6 y}{5} + \frac{7}{5}\right) = 8$$
$$18 y + 14 = 8$$
Перенесем свободное слагаемое 14 из левой части в правую со сменой знака
$$18 y = -6$$
$$18 y = -6$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{18 y}{18} = - \frac{1}{3}$$
$$y = - \frac{1}{3}$$
Т.к.
$$x = \frac{6 y}{5} + \frac{7}{5}$$
то
$$x = \frac{-6}{15} + \frac{7}{5}$$
$$x = 1$$

Ответ:
$$x = 1$$
$$y = - \frac{1}{3}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = - \frac{1}{3}$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
=

-0.333333333333333

Метод Крамера

$$5 x - 6 y = 7$$
$$10 x + 6 y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 6 y = 7$$
$$10 x + 6 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 6 x_{2}\\10 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -6\\10 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 90$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{90} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -6\\8 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{90} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 7\\10 & 8\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1}{3}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 x - 6 y = 7$$
$$10 x + 6 y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 6 y = 7$$
$$10 x + 6 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & -6 & 7\\10 & 6 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & -6 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 18 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 18 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & -6 & 7\\0 & 18 & -6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-6\\18\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 18 & -6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 5\\0 & 18 & -6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 5 = 0$$
$$18 x_{2} + 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = -0.3333333333333333