12*y-4=-4*x+7*y+18 3*(3*x-2*y)-5*x+15*y=30

Вы ввели

[LaTeX]

12*y - 4 = -4*x + 7*y + 18

$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$

3*(3*x - 2*y) - 5*x + 15*y = 30

$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 4 x + 12 y - 4 = 7 y + 18$$
$$4 x + 12 y - 4 = 7 y + 18$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 4 = - 12 y + 7 y + 18$$
$$4 x - 4 = - 5 y + 18$$
Перенесем свободное слагаемое -4 из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = - 5 y + 18 + 4$$
$$4 x = - 5 y + 22$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(- 5 y + 22\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Получим:
$$15 y + - - \frac{25 y}{4} + \frac{55}{2} + 3 \left(- 2 y + 3 \left(- \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}\right)\right) = 30$$
$$4 y + 22 = 30$$
Перенесем свободное слагаемое 22 из левой части в правую со сменой знака
$$4 y = 8$$
$$4 y = 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{4 y}{4} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}$$
то
$$x = - \frac{5}{2} + \frac{11}{2}$$
$$x = 3$$

Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

[LaTeX]

$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + 5 y = 22$$
$$4 x + 9 y = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} + 5 x_{2}\\4 x_{1} + 9 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}22\\30\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 5\\4 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 16$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}22 & 5\\30 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 22\\4 & 30\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + 5 y = 22$$
$$4 x + 9 y = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\\4 & 9 & 30\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 12 = 0$$
$$4 x_{2} - 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = 3.00000000000000
y1 = 2.00000000000000