12*y-4=-4*x+7*y+18 3*(3*x-2*y)-5*x+15*y=30
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
12*y - 4 = -4*x + 7*y + 18
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
3*(3*x - 2*y) - 5*x + 15*y = 30
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 4 x + 12 y - 4 = 7 y + 18$$
$$4 x + 12 y - 4 = 7 y + 18$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 4 = - 12 y + 7 y + 18$$
$$4 x - 4 = - 5 y + 18$$
Перенесем свободное слагаемое -4 из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = - 5 y + 18 + 4$$
$$4 x = - 5 y + 22$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(- 5 y + 22\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Получим:
$$15 y + - - \frac{25 y}{4} + \frac{55}{2} + 3 \left(- 2 y + 3 \left(- \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}\right)\right) = 30$$
$$4 y + 22 = 30$$
Перенесем свободное слагаемое 22 из левой части в правую со сменой знака
$$4 y = 8$$
$$4 y = 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{4 y}{4} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}$$
то
$$x = - \frac{5}{2} + \frac{11}{2}$$
$$x = 3$$
Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 2$$
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 4 x + 12 y - 4 = 7 y + 18$$
$$4 x + 12 y - 4 = 7 y + 18$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 4 = - 12 y + 7 y + 18$$
$$4 x - 4 = - 5 y + 18$$
Перенесем свободное слагаемое -4 из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = - 5 y + 18 + 4$$
$$4 x = - 5 y + 22$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(- 5 y + 22\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Получим:
$$15 y + - - \frac{25 y}{4} + \frac{55}{2} + 3 \left(- 2 y + 3 \left(- \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}\right)\right) = 30$$
$$4 y + 22 = 30$$
Перенесем свободное слагаемое 22 из левой части в правую со сменой знака
$$4 y = 8$$
$$4 y = 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{4 y}{4} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{4} + \frac{11}{2}$$
то
$$x = - \frac{5}{2} + \frac{11}{2}$$
$$x = 3$$
Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 2$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
=
$$3$$
=
3
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
Метод Крамера
[TeX]
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + 5 y = 22$$
$$4 x + 9 y = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} + 5 x_{2}\\4 x_{1} + 9 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}22\\30\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 5\\4 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 16$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}22 & 5\\30 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 22\\4 & 30\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + 5 y = 22$$
$$4 x + 9 y = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} + 5 x_{2}\\4 x_{1} + 9 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}22\\30\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 5\\4 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 16$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}22 & 5\\30 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 22\\4 & 30\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + 5 y = 22$$
$$4 x + 9 y = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\\4 & 9 & 30\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 12 = 0$$
$$4 x_{2} - 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$
$$12 y - 4 = - 4 x + 7 y + 18$$
$$15 y + - 5 x + 3 \left(3 x - 2 y\right) = 30$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + 5 y = 22$$
$$4 x + 9 y = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\\4 & 9 & 30\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 5 & 22\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 12 = 0$$
$$4 x_{2} - 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 3.00000000000000 y1 = 2.00000000000000