4*x-7*y=30 4*x-5*y=90

Вы ввели

4*x - 7*y = 30

$$4 x - 7 y = 30$$

4*x - 5*y = 90

$$4 x - 5 y = 90$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$4 x - 7 y = 30$$
$$4 x - 5 y = 90$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - 7 y = 30$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 7 y + 7 y = - -1 \cdot 7 y + 30$$
$$4 x = 7 y + 30$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(7 y + 30\right)$$
$$x = \frac{7 y}{4} + \frac{15}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x - 5 y = 90$$
Получим:
$$- 5 y + 4 \left(\frac{7 y}{4} + \frac{15}{2}\right) = 90$$
$$2 y + 30 = 90$$
Перенесем свободное слагаемое 30 из левой части в правую со сменой знака
$$2 y = 60$$
$$2 y = 60$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{2 y}{2} = 30$$
$$y = 30$$
Т.к.
$$x = \frac{7 y}{4} + \frac{15}{2}$$
то
$$x = \frac{15}{2} + \frac{210}{4}$$
$$x = 60$$

Ответ:
$$x = 60$$
$$y = 30$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 60$$
=
$$60$$
=

60

$$y_{1} = 30$$
=
$$30$$
=

30

Метод Крамера

$$4 x - 7 y = 30$$
$$4 x - 5 y = 90$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 7 y = 30$$
$$4 x - 5 y = 90$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 7 x_{2}\\4 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30\\90\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -7\\4 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 8$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -7\\90 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 60$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 30\\4 & 90\end{matrix}\right] \right )} = 30$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$4 x - 7 y = 30$$
$$4 x - 5 y = 90$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 7 y = 30$$
$$4 x - 5 y = 90$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -7 & 30\\4 & -5 & 90\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -7 & 30\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 60\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 60\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -7 & 30\\0 & 2 & 60\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 240\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 240\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 240\\0 & 2 & 60\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 240 = 0$$
$$2 x_{2} - 60 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 60$$
$$x_{2} = 30$$

Численный ответ

x1 = 60.0000000000000
y1 = 30.0000000000000