2*x+3*y=3 5*x+6*y=9

Вы ввели

2*x + 3*y = 3

$$2 x + 3 y = 3$$

5*x + 6*y = 9

$$5 x + 6 y = 9$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + 3 y = 3$$
$$5 x + 6 y = 9$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 3 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 3 y + 3$$
$$2 x = - 3 y + 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 3 y + 3\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{3}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x + 6 y = 9$$
Получим:
$$6 y + 5 \left(- \frac{3 y}{2} + \frac{3}{2}\right) = 9$$
$$- \frac{3 y}{2} + \frac{15}{2} = 9$$
Перенесем свободное слагаемое 15/2 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{3 y}{2} = \frac{3}{2}$$
$$- \frac{3 y}{2} = \frac{3}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{3}{2} y}{- \frac{3}{2}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{3}{2}$$
то
$$x = \frac{3}{2} - - \frac{3}{2}$$
$$x = 3$$

Ответ:
$$x = 3$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

$$2 x + 3 y = 3$$
$$5 x + 6 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 3 y = 3$$
$$5 x + 6 y = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 3\\5 & 6\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 3\\9 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 3\\5 & 9\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + 3 y = 3$$
$$5 x + 6 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 3 y = 3$$
$$5 x + 6 y = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 3\\5 & 6 & 9\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{2} + 6 & - \frac{15}{2} + 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 3\\0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 6\\0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 6 = 0$$
$$- \frac{3 x_{2}}{2} - \frac{3}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

x1 = 3.00000000000000
y1 = -1.00000000000000