2*x+5*y=10 8*y-5*x=57

Вы ввели

2*x + 5*y = 10

$$2 x + 5 y = 10$$

8*y - 5*x = 57

$$- 5 x + 8 y = 57$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = 10$$
$$- 5 x + 8 y = 57$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 5 y = 10$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 5 y + 10$$
$$2 x = - 5 y + 10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 5 y + 10\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{2} + 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 5 x + 8 y = 57$$
Получим:
$$8 y - - \frac{25 y}{2} + 25 = 57$$
$$\frac{41 y}{2} - 25 = 57$$
Перенесем свободное слагаемое -25 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{41 y}{2} = 82$$
$$\frac{41 y}{2} = 82$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{41}{2} y}{\frac{41}{2}} = 4$$
$$y = 4$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{2} + 5$$
то
$$x = - 10 + 5$$
$$x = -5$$

Ответ:
$$x = -5$$
$$y = 4$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -5$$
=
$$-5$$
=

-5

$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

Метод Крамера

$$2 x + 5 y = 10$$
$$- 5 x + 8 y = 57$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = 10$$
$$- 5 x + 8 y = 57$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 5 x_{2}\\- 5 x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10\\57\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\-5 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 41$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{41} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & 5\\57 & 8\end{matrix}\right] \right )} = -5$$
$$x_{2} = \frac{1}{41} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 10\\-5 & 57\end{matrix}\right] \right )} = 4$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = 10$$
$$- 5 x + 8 y = 57$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = 10$$
$$- 5 x + 8 y = 57$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 10\\-5 & 8 & 57\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 8 - - \frac{25}{2} & 82\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{41}{2} & 82\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 10\\0 & \frac{41}{2} & 82\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\\frac{41}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{41}{2} & 82\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -10\\0 & \frac{41}{2} & 82\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} + 10 = 0$$
$$\frac{41 x_{2}}{2} - 82 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 4$$

Численный ответ

x1 = -5.00000000000000
y1 = 4.00000000000000