2*x+3*x+3*y=11 7*x+21*y-4*y=-23
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x + 3*x + 3*y = 11
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
7*x + 21*y - 4*y = -23
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = - 3 y + 11$$
$$5 x = - 3 y + 11$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 3 y + 11\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Получим:
$$- 4 y + 21 y + 7 \left(- \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}\right) = -23$$
$$\frac{64 y}{5} + \frac{77}{5} = -23$$
Перенесем свободное слагаемое 77/5 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{64 y}{5} = - \frac{192}{5}$$
$$\frac{64 y}{5} = - \frac{192}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{64}{5} y}{\frac{64}{5}} = -3$$
$$y = -3$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}$$
то
$$x = - \frac{-9}{5} + \frac{11}{5}$$
$$x = 4$$
Ответ:
$$x = 4$$
$$y = -3$$
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = - 3 y + 11$$
$$5 x = - 3 y + 11$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 3 y + 11\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Получим:
$$- 4 y + 21 y + 7 \left(- \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}\right) = -23$$
$$\frac{64 y}{5} + \frac{77}{5} = -23$$
Перенесем свободное слагаемое 77/5 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{64 y}{5} = - \frac{192}{5}$$
$$\frac{64 y}{5} = - \frac{192}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{64}{5} y}{\frac{64}{5}} = -3$$
$$y = -3$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}$$
то
$$x = - \frac{-9}{5} + \frac{11}{5}$$
$$x = 4$$
Ответ:
$$x = 4$$
$$y = -3$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
$$y_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
=
$$4$$
=
4
$$y_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
-3
Метод Крамера
[TeX]
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y = 11$$
$$7 x + 17 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 3 x_{2}\\7 x_{1} + 17 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\-23\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 3\\7 & 17\end{matrix}\right] \right )} = 64$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{64} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & 3\\-23 & 17\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{64} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 11\\7 & -23\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y = 11$$
$$7 x + 17 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 3 x_{2}\\7 x_{1} + 17 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\-23\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 3\\7 & 17\end{matrix}\right] \right )} = 64$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{64} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & 3\\-23 & 17\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{64} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 11\\7 & -23\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y = 11$$
$$7 x + 17 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\\7 & 17 & -23\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{21}{5} + 17 & -23 - \frac{77}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\\0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\\frac{64}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\\0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 20 = 0$$
$$\frac{64 x_{2}}{5} + \frac{192}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$
$$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y = 11$$
$$7 x + 17 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\\7 & 17 & -23\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{21}{5} + 17 & -23 - \frac{77}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\\0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\\frac{64}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\\0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 20 = 0$$
$$\frac{64 x_{2}}{5} + \frac{192}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -3$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 4.00000000000000 y1 = -3.00000000000000