два *x+ три *x+ три *y= одиннадцать семь *x+ двадцать один *y- четыре *y=- двадцать три
2 умножить на х плюс 3 умножить на х плюс 3 умножить на у равно 11 7 умножить на х плюс 21 умножить на у минус 4 умножить на у равно минус 23
два умножить на х плюс три умножить на х плюс три умножить на у равно одиннадцать семь умножить на х плюс двадцать один умножить на у минус четыре умножить на у равно минус двадцать три
Дана система ур-ний $$3 y + 2 x + 3 x = 11$$ $$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$3 y + 2 x + 3 x = 11$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$5 x = - 3 y + 11$$ $$5 x = - 3 y + 11$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 3 y + 11\right)$$ $$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$ Получим: $$- 4 y + 21 y + 7 \left(- \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}\right) = -23$$ $$\frac{64 y}{5} + \frac{77}{5} = -23$$ Перенесем свободное слагаемое 77/5 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{64 y}{5} = - \frac{192}{5}$$ $$\frac{64 y}{5} = - \frac{192}{5}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{64}{5} y}{\frac{64}{5}} = -3$$ $$y = -3$$ Т.к. $$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{11}{5}$$ то $$x = - \frac{-9}{5} + \frac{11}{5}$$ $$x = 4$$
Ответ: $$x = 4$$ $$y = -3$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 4$$ = $$4$$ =
4
$$y_{1} = -3$$ = $$-3$$ =
-3
Метод Крамера
$$3 y + 2 x + 3 x = 11$$ $$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x + 3 y = 11$$ $$7 x + 17 y = -23$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 3 x_{2}\\7 x_{1} + 17 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\-23\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 3\\7 & 17\end{matrix}\right] \right )} = 64$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{64} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & 3\\-23 & 17\end{matrix}\right] \right )} = 4$$ $$x_{2} = \frac{1}{64} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 11\\7 & -23\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$3 y + 2 x + 3 x = 11$$ $$- 4 y + 7 x + 21 y = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x + 3 y = 11$$ $$7 x + 17 y = -23$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\\7 & 17 & -23\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{21}{5} + 17 & -23 - \frac{77}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 11\\0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\\frac{64}{5}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\\0 & \frac{64}{5} & - \frac{192}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$5 x_{1} - 20 = 0$$ $$\frac{64 x_{2}}{5} + \frac{192}{5} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 4$$ $$x_{2} = -3$$