a+2*b+3*c-4*d=12 a+2*b-3*c+2*d=-6 2*a-3*b+2*c-3*d=6 3*a-5*b+3*c-3*d=10

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:
54 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
a + 2*b + 3*c - 4*d = 12
$$- 4 d + 3 c + a + 2 b = 12$$
a + 2*b - 3*c + 2*d = -6
$$2 d + - 3 c + a + 2 b = -6$$
2*a - 3*b + 2*c - 3*d = 6
$$- 3 d + 2 c + 2 a - 3 b = 6$$
3*a - 5*b + 3*c - 3*d = 10
$$- 3 d + 3 c + 3 a - 5 b = 10$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$c_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
4

$$b_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1

$$a_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2

$$d_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
[TeX]
$$- 4 d + 3 c + a + 2 b = 12$$
$$2 d + - 3 c + a + 2 b = -6$$
$$- 3 d + 2 c + 2 a - 3 b = 6$$
$$- 3 d + 3 c + 3 a - 5 b = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a + 2 b + 3 c - 4 d = 12$$
$$a + 2 b - 3 c + 2 d = -6$$
$$2 a - 3 b + 2 c - 3 d = 6$$
$$3 a - 5 b + 3 c - 3 d = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{4} + 3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{4} + - 3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\- 3 x_{4} + 2 x_{3} + 2 x_{1} - 3 x_{2}\\- 3 x_{4} + 3 x_{3} + 3 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}12\\-6\\6\\10\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -4\\1 & 2 & -3 & 2\\2 & -3 & 2 & -3\\3 & -5 & 3 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -60$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{60} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}12 & 2 & 3 & -4\\-6 & 2 & -3 & 2\\6 & -3 & 2 & -3\\10 & -5 & 3 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{60} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 12 & 3 & -4\\1 & -6 & -3 & 2\\2 & 6 & 2 & -3\\3 & 10 & 3 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{60} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 12 & -4\\1 & 2 & -6 & 2\\2 & -3 & 6 & -3\\3 & -5 & 10 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{4} = - \frac{1}{60} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 12\\1 & 2 & -3 & -6\\2 & -3 & 2 & 6\\3 & -5 & 3 & 10\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 4 d + 3 c + a + 2 b = 12$$
$$2 d + - 3 c + a + 2 b = -6$$
$$- 3 d + 2 c + 2 a - 3 b = 6$$
$$- 3 d + 3 c + 3 a - 5 b = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a + 2 b + 3 c - 4 d = 12$$
$$a + 2 b - 3 c + 2 d = -6$$
$$2 a - 3 b + 2 c - 3 d = 6$$
$$3 a - 5 b + 3 c - 3 d = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -4 & 12\\1 & 2 & -3 & 2 & -6\\2 & -3 & 2 & -3 & 6\\3 & -5 & 3 & -3 & 10\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -4 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -6 & 6 & -18\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -6 & 6 & -18\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -4 & 12\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\2 & -3 & 2 & -3 & 6\\3 & -5 & 3 & -3 & 10\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -4 & 5 & -18\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & -4 & 5 & -18\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -4 & 12\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & -4 & 5 & -18\\3 & -5 & 3 & -3 & 10\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & -6 & 9 & -26\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & -6 & 9 & -26\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -4 & 12\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & -4 & 5 & -18\\0 & -11 & -6 & 9 & -26\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\0\\-7\\-11\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -4 & 5 & -18\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{8}{7} + 3 & -4 - - \frac{10}{7} & - \frac{36}{7} + 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{13}{7} & - \frac{18}{7} & \frac{48}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{13}{7} & - \frac{18}{7} & \frac{48}{7}\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & -4 & 5 & -18\\0 & -11 & -6 & 9 & -26\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -6 - - \frac{44}{7} & - \frac{55}{7} + 9 & -26 - - \frac{198}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{2}{7} & \frac{8}{7} & \frac{16}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{13}{7} & - \frac{18}{7} & \frac{48}{7}\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & -4 & 5 & -18\\0 & 0 & \frac{2}{7} & \frac{8}{7} & \frac{16}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{13}{7}\\-6\\-4\\\frac{2}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -6 & 6 & -18\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{13}{7} + \frac{13}{7} & - \frac{18}{7} - - \frac{13}{7} & - \frac{39}{7} + \frac{48}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{5}{7} & \frac{9}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{5}{7} & \frac{9}{7}\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & -4 & 5 & -18\\0 & 0 & \frac{2}{7} & \frac{8}{7} & \frac{16}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & 0 & 1 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & 0 & 1 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{5}{7} & \frac{9}{7}\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & 0 & 1 & -6\\0 & 0 & \frac{2}{7} & \frac{8}{7} & \frac{16}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{2}{7} + \frac{2}{7} & - \frac{-2}{7} + \frac{8}{7} & - \frac{6}{7} + \frac{16}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{10}{7} & \frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{5}{7} & \frac{9}{7}\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & 0 & 1 & -6\\0 & 0 & 0 & \frac{10}{7} & \frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{5}{7}\\6\\1\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{10}{7} & \frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{5}{7} - - \frac{5}{7} & - \frac{-5}{7} + \frac{9}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & -6 & 6 & -18\\0 & -7 & 0 & 1 & -6\\0 & 0 & 0 & \frac{10}{7} & \frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -6 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -6 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & -6 & 0 & -24\\0 & -7 & 0 & 1 & -6\\0 & 0 & 0 & \frac{10}{7} & \frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & 0 & 0 & -7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & 0 & 0 & -7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & -6 & 0 & -24\\0 & -7 & 0 & 0 & -7\\0 & 0 & 0 & \frac{10}{7} & \frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$- 6 x_{3} + 24 = 0$$
$$- 7 x_{2} + 7 = 0$$
$$\frac{10 x_{4}}{7} - \frac{10}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{4} = 1$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
a1 = 2.00000000000000
b1 = 1.00000000000000
c1 = 4.00000000000000
d1 = 1.00000000000000