x+4*y=11 2*x+3*y=7

Вы ввели

x + 4*y = 11

$$x + 4 y = 11$$

2*x + 3*y = 7

$$2 x + 3 y = 7$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x + 4 y = 11$$
$$2 x + 3 y = 7$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 4 y = 11$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 4 y + 11$$
$$x = - 4 y + 11$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 3 y = 7$$
Получим:
$$3 y + 2 \left(- 4 y + 11\right) = 7$$
$$- 5 y + 22 = 7$$
Перенесем свободное слагаемое 22 из левой части в правую со сменой знака
$$- 5 y = -15$$
$$- 5 y = -15$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-5} \left(-1 \cdot 5 y\right) = 3$$
$$y = 3$$
Т.к.
$$x = - 4 y + 11$$
то
$$x = - 12 + 11$$
$$x = -1$$

Ответ:
$$x = -1$$
$$y = 3$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

$$x + 4 y = 11$$
$$2 x + 3 y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 11$$
$$2 x + 3 y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 4 x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -5$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & 4\\7 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 11\\2 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x + 4 y = 11$$
$$2 x + 3 y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 11$$
$$2 x + 3 y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 11\\2 & 3 & 7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 11\\0 & -5 & -15\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -15\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\0 & -5 & -15\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 1 = 0$$
$$- 5 x_{2} + 15 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$

Численный ответ

x1 = -1.00000000000000
y1 = 3.00000000000000