3*x+2*y+5*z=-1 2*x-y+3*z=13 x+2*y-z=9

Вы ввели

3*x + 2*y + 5*z = -1

$$5 z + 3 x + 2 y = -1$$

2*x - y + 3*z = 13

$$3 z + 2 x - y = 13$$

x + 2*y - z = 9

$$- z + x + 2 y = 9$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 13$$
=
$$13$$
=

13

$$z_{1} = -6$$
=
$$-6$$
=

-6

$$y_{1} = -5$$
=
$$-5$$
=

-5

Метод Крамера

$$5 z + 3 x + 2 y = -1$$
$$3 z + 2 x - y = 13$$
$$- z + x + 2 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y + 5 z = -1$$
$$2 x - y + 3 z = 13$$
$$x + 2 y - z = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{3} + 3 x_{1} + 2 x_{2}\\3 x_{3} + 2 x_{1} - x_{2}\\- x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\13\\9\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 2 & 5\\2 & -1 & 3\\1 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 20$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{20} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & 2 & 5\\13 & -1 & 3\\9 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
$$x_{2} = \frac{1}{20} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & 5\\2 & 13 & 3\\1 & 9 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -5$$
$$x_{3} = \frac{1}{20} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 2 & -1\\2 & -1 & 13\\1 & 2 & 9\end{matrix}\right] \right )} = -6$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 z + 3 x + 2 y = -1$$
$$3 z + 2 x - y = 13$$
$$- z + x + 2 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y + 5 z = -1$$
$$2 x - y + 3 z = 13$$
$$x + 2 y - z = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 5 & -1\\2 & -1 & 3 & 13\\1 & 2 & -1 & 9\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 5 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} - 1 & - \frac{10}{3} + 3 & - \frac{-2}{3} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 5 & -1\\0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{41}{3}\\1 & 2 & -1 & 9\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{3} + 2 & - \frac{5}{3} - 1 & - \frac{-1}{3} + 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & - \frac{8}{3} & \frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 5 & -1\\0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{41}{3}\\0 & \frac{4}{3} & - \frac{8}{3} & \frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{7}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{2}{7} + 5 & -1 - - \frac{82}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{33}{7} & \frac{75}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{33}{7} & \frac{75}{7}\\0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{41}{3}\\0 & \frac{4}{3} & - \frac{8}{3} & \frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} & - \frac{8}{3} - \frac{4}{21} & - \frac{-164}{21} + \frac{28}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{20}{7} & \frac{120}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{33}{7} & \frac{75}{7}\\0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{41}{3}\\0 & 0 & - \frac{20}{7} & \frac{120}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{33}{7}\\- \frac{1}{3}\\- \frac{20}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{20}{7} & \frac{120}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{33}{7} + \frac{33}{7} & \frac{75}{7} - - \frac{198}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 39\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 39\\0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{41}{3}\\0 & 0 & - \frac{20}{7} & \frac{120}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} - - \frac{1}{3} & \frac{35}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 0 & \frac{35}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 39\\0 & - \frac{7}{3} & 0 & \frac{35}{3}\\0 & 0 & - \frac{20}{7} & \frac{120}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 39 = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{3} - \frac{35}{3} = 0$$
$$- \frac{20 x_{3}}{7} - \frac{120}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 13$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = -6$$

Численный ответ

x1 = 13.0000000000000
y1 = -5.00000000000000
z1 = -6.00000000000000