x1*3460-x2*2080-x3*610=560 x2*2990-x1*2080-x3*120=430 x3*1180-x2*120-x1*610=0
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x1*3460 - x2*2080 - x3*610 = 560
$$- 610 x_{3} + 3460 x_{1} - 2080 x_{2} = 560$$
x2*2990 - x1*2080 - x3*120 = 430
$$- 120 x_{3} + - 2080 x_{1} + 2990 x_{2} = 430$$
x3*1180 - x2*120 - x1*610 = 0
$$- 610 x_{1} + - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{31} = \frac{377056}{1127101}$$
=
$$\frac{377056}{1127101}$$
=
$$x_{11} = \frac{3054596}{5635505}$$
=
$$\frac{3054596}{5635505}$$
=
$$x_{21} = \frac{3011057}{5635505}$$
=
$$\frac{3011057}{5635505}$$
=
=
$$\frac{377056}{1127101}$$
=
0.334536124091807
$$x_{11} = \frac{3054596}{5635505}$$
=
$$\frac{3054596}{5635505}$$
=
0.542027023310245
$$x_{21} = \frac{3011057}{5635505}$$
=
$$\frac{3011057}{5635505}$$
=
0.534301185075694
Метод Крамера
[TeX]
$$- 610 x_{3} + 3460 x_{1} - 2080 x_{2} = 560$$
$$- 120 x_{3} + - 2080 x_{1} + 2990 x_{2} = 430$$
$$- 610 x_{1} + - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3460 x_{1} - 2080 x_{2} - 610 x_{3} = 560$$
$$- 2080 x_{1} + 2990 x_{2} - 120 x_{3} = 430$$
$$- 610 x_{1} - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 610 x_{3} + 3460 x_{1} - 2080 x_{2}\\- 120 x_{3} + - 2080 x_{1} + 2990 x_{2}\\1180 x_{3} + - 610 x_{1} - 120 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}560\\430\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610\\-2080 & 2990 & -120\\-610 & -120 & 1180\end{matrix}\right] \right )} = 5635505000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{5635505000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}560 & -2080 & -610\\430 & 2990 & -120\\0 & -120 & 1180\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3054596}{5635505}$$
$$x_{2} = \frac{1}{5635505000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3460 & 560 & -610\\-2080 & 430 & -120\\-610 & 0 & 1180\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3011057}{5635505}$$
$$x_{3} = \frac{1}{5635505000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & 560\\-2080 & 2990 & 430\\-610 & -120 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{377056}{1127101}$$
$$- 120 x_{3} + - 2080 x_{1} + 2990 x_{2} = 430$$
$$- 610 x_{1} + - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3460 x_{1} - 2080 x_{2} - 610 x_{3} = 560$$
$$- 2080 x_{1} + 2990 x_{2} - 120 x_{3} = 430$$
$$- 610 x_{1} - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 610 x_{3} + 3460 x_{1} - 2080 x_{2}\\- 120 x_{3} + - 2080 x_{1} + 2990 x_{2}\\1180 x_{3} + - 610 x_{1} - 120 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}560\\430\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610\\-2080 & 2990 & -120\\-610 & -120 & 1180\end{matrix}\right] \right )} = 5635505000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{5635505000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}560 & -2080 & -610\\430 & 2990 & -120\\0 & -120 & 1180\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3054596}{5635505}$$
$$x_{2} = \frac{1}{5635505000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3460 & 560 & -610\\-2080 & 430 & -120\\-610 & 0 & 1180\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3011057}{5635505}$$
$$x_{3} = \frac{1}{5635505000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & 560\\-2080 & 2990 & 430\\-610 & -120 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{377056}{1127101}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 610 x_{3} + 3460 x_{1} - 2080 x_{2} = 560$$
$$- 120 x_{3} + - 2080 x_{1} + 2990 x_{2} = 430$$
$$- 610 x_{1} + - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3460 x_{1} - 2080 x_{2} - 610 x_{3} = 560$$
$$- 2080 x_{1} + 2990 x_{2} - 120 x_{3} = 430$$
$$- 610 x_{1} - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\\-2080 & 2990 & -120 & 430\\-610 & -120 & 1180 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3460\\-2080\\-610\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{216320}{173} + 2990 & - \frac{63440}{173} - 120 & - \frac{-58240}{173} + 430\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\-610 & -120 & 1180 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{63440}{173} - 120 & - \frac{18605}{173} + 1180 & - \frac{-17080}{173}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{84200}{173} & \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & - \frac{84200}{173} & \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2080\\\frac{300950}{173}\\- \frac{84200}{173}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & -610 - \frac{269440}{463} & 560 - - \frac{424416}{463}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} & \frac{683696}{463}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} & \frac{683696}{463}\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & - \frac{84200}{173} & \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{84200}{173} - - \frac{84200}{173} & - \frac{141792800}{1041287} + \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173} - - \frac{223348920}{1041287}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} & \frac{683696}{463}\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{551870}{463}\\- \frac{84200}{173}\\\frac{5635505}{6019}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} - - \frac{551870}{463} & - \frac{-208085894720}{521847763} + \frac{683696}{463}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3460 & 0 & 0 & \frac{2113780432}{1127101}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & 0 & \frac{2113780432}{1127101}\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} - - \frac{84200}{173} & - \frac{-31748115200}{194988473} + \frac{132630}{173}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & 0 & \frac{181235520830}{194988473}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & 0 & \frac{2113780432}{1127101}\\0 & \frac{300950}{173} & 0 & \frac{181235520830}{194988473}\\0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3460 x_{1} - \frac{2113780432}{1127101} = 0$$
$$\frac{300950 x_{2}}{173} - \frac{181235520830}{194988473} = 0$$
$$\frac{5635505 x_{3}}{6019} - \frac{1885280}{6019} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{3054596}{5635505}$$
$$x_{2} = \frac{3011057}{5635505}$$
$$x_{3} = \frac{377056}{1127101}$$
$$- 610 x_{3} + 3460 x_{1} - 2080 x_{2} = 560$$
$$- 120 x_{3} + - 2080 x_{1} + 2990 x_{2} = 430$$
$$- 610 x_{1} + - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3460 x_{1} - 2080 x_{2} - 610 x_{3} = 560$$
$$- 2080 x_{1} + 2990 x_{2} - 120 x_{3} = 430$$
$$- 610 x_{1} - 120 x_{2} + 1180 x_{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\\-2080 & 2990 & -120 & 430\\-610 & -120 & 1180 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3460\\-2080\\-610\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{216320}{173} + 2990 & - \frac{63440}{173} - 120 & - \frac{-58240}{173} + 430\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\-610 & -120 & 1180 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{63440}{173} - 120 & - \frac{18605}{173} + 1180 & - \frac{-17080}{173}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{84200}{173} & \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & -2080 & -610 & 560\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & - \frac{84200}{173} & \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2080\\\frac{300950}{173}\\- \frac{84200}{173}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & -610 - \frac{269440}{463} & 560 - - \frac{424416}{463}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} & \frac{683696}{463}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} & \frac{683696}{463}\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & - \frac{84200}{173} & \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{84200}{173} - - \frac{84200}{173} & - \frac{141792800}{1041287} + \frac{185535}{173} & \frac{17080}{173} - - \frac{223348920}{1041287}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} & \frac{683696}{463}\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{551870}{463}\\- \frac{84200}{173}\\\frac{5635505}{6019}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & - \frac{551870}{463} - - \frac{551870}{463} & - \frac{-208085894720}{521847763} + \frac{683696}{463}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3460 & 0 & 0 & \frac{2113780432}{1127101}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & 0 & \frac{2113780432}{1127101}\\0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} & \frac{132630}{173}\\0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & - \frac{84200}{173} - - \frac{84200}{173} & - \frac{-31748115200}{194988473} + \frac{132630}{173}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{300950}{173} & 0 & \frac{181235520830}{194988473}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3460 & 0 & 0 & \frac{2113780432}{1127101}\\0 & \frac{300950}{173} & 0 & \frac{181235520830}{194988473}\\0 & 0 & \frac{5635505}{6019} & \frac{1885280}{6019}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3460 x_{1} - \frac{2113780432}{1127101} = 0$$
$$\frac{300950 x_{2}}{173} - \frac{181235520830}{194988473} = 0$$
$$\frac{5635505 x_{3}}{6019} - \frac{1885280}{6019} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{3054596}{5635505}$$
$$x_{2} = \frac{3011057}{5635505}$$
$$x_{3} = \frac{377056}{1127101}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x11 = 0.5420270233102446 x21 = 0.5343011850756942 x31 = 0.3345361240918072