8*x+3*y=7 2*x+5*y=23

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
8*x + 3*y = 7
$$8 x + 3 y = 7$$
2*x + 5*y = 23
$$2 x + 5 y = 23$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x + 3 y = 7$$
$$2 x + 5 y = 23$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x + 3 y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x = - 3 y + 7$$
$$8 x = - 3 y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(- 3 y + 7\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{8} + \frac{7}{8}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 5 y = 23$$
Получим:
$$5 y + 2 \left(- \frac{3 y}{8} + \frac{7}{8}\right) = 23$$
$$\frac{17 y}{4} + \frac{7}{4} = 23$$
Перенесем свободное слагаемое 7/4 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{17 y}{4} = \frac{85}{4}$$
$$\frac{17 y}{4} = \frac{85}{4}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{17}{4} y}{\frac{17}{4}} = 5$$
$$y = 5$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{8} + \frac{7}{8}$$
то
$$x = - \frac{15}{8} + \frac{7}{8}$$
$$x = -1$$

Ответ:
$$x = -1$$
$$y = 5$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
-1

$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
5
Метод Крамера
[TeX]
$$8 x + 3 y = 7$$
$$2 x + 5 y = 23$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 3 y = 7$$
$$2 x + 5 y = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} + 3 x_{2}\\2 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 3\\2 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 34$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 3\\23 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 7\\2 & 23\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x + 3 y = 7$$
$$2 x + 5 y = 23$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 3 y = 7$$
$$2 x + 5 y = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & 3 & 7\\2 & 5 & 23\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 3 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{4} + 5 & - \frac{7}{4} + 23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{17}{4} & \frac{85}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 3 & 7\\0 & \frac{17}{4} & \frac{85}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{17}{4} & \frac{85}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & -8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & -8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & -8\\0 & \frac{17}{4} & \frac{85}{4}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} + 8 = 0$$
$$\frac{17 x_{2}}{4} - \frac{85}{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -1.00000000000000
y1 = 5.00000000000000