Дана система ур-ний $$4 x + 3 y = -11$$ $$10 x + 5 y = 35$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$4 x + 3 y = -11$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$4 x = - 3 y - 11$$ $$4 x = - 3 y - 11$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(- 3 y - 11\right)$$ $$x = - \frac{3 y}{4} - \frac{11}{4}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$10 x + 5 y = 35$$ Получим: $$5 y + 10 \left(- \frac{3 y}{4} - \frac{11}{4}\right) = 35$$ $$- \frac{5 y}{2} - \frac{55}{2} = 35$$ Перенесем свободное слагаемое -55/2 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{5 y}{2} = \frac{125}{2}$$ $$- \frac{5 y}{2} = \frac{125}{2}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{5}{2} y}{- \frac{5}{2}} = -25$$ $$y = -25$$ Т.к. $$x = - \frac{3 y}{4} - \frac{11}{4}$$ то $$x = - \frac{11}{4} - - \frac{75}{4}$$ $$x = 16$$
Ответ: $$x = 16$$ $$y = -25$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 16$$ = $$16$$ =
16
$$y_{1} = -25$$ = $$-25$$ =
-25
Метод Крамера
$$4 x + 3 y = -11$$ $$10 x + 5 y = 35$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$4 x + 3 y = -11$$ $$10 x + 5 y = 35$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}4 x_{1} + 3 x_{2}\\10 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-11\\35\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 3\\10 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -10$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{10} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-11 & 3\\35 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 16$$ $$x_{2} = - \frac{1}{10} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -11\\10 & 35\end{matrix}\right] \right )} = -25$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$4 x + 3 y = -11$$ $$10 x + 5 y = 35$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$4 x + 3 y = -11$$ $$10 x + 5 y = 35$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}4 & 3 & -11\\10 & 5 & 35\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}4 & 3 & -11\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{2} + 5 & - \frac{-55}{2} + 35\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{2} & \frac{125}{2}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}4 & 3 & -11\\0 & - \frac{5}{2} & \frac{125}{2}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{2} & \frac{125}{2}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 64\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 64\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 64\\0 & - \frac{5}{2} & \frac{125}{2}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$4 x_{1} - 64 = 0$$ $$- \frac{5 x_{2}}{2} - \frac{125}{2} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 16$$ $$x_{2} = -25$$