2*x1+x2=5 x1+3*x3=16 5*x2-x3=10

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Примеры

Решение

Вы ввели [src]
2*x1 + x2 = 5
$$2 x_{1} + x_{2} = 5$$
x1 + 3*x3 = 16
$$x_{1} + 3 x_{3} = 16$$
5*x2 - x3 = 10
$$5 x_{2} - x_{3} = 10$$
Быстрый ответ
$$x_{31} = 5$$
=
$$5$$
=
5

$$x_{11} = 1$$
=
$$1$$
=
1

$$x_{21} = 3$$
=
$$3$$
=
3
Метод Крамера
$$2 x_{1} + x_{2} = 5$$
$$x_{1} + 3 x_{3} = 16$$
$$5 x_{2} - x_{3} = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} + x_{2} = 5$$
$$x_{1} + 3 x_{3} = 16$$
$$5 x_{2} - x_{3} = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\\3 x_{3} + x_{1} + 0 x_{2}\\- x_{3} + 0 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\16\\10\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0\\1 & 0 & 3\\0 & 5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -29$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{29} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 1 & 0\\16 & 0 & 3\\10 & 5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{29} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5 & 0\\1 & 16 & 3\\0 & 10 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{3} = - \frac{1}{29} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & 5\\1 & 0 & 16\\0 & 5 & 10\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$2 x_{1} + x_{2} = 5$$
$$x_{1} + 3 x_{3} = 16$$
$$5 x_{2} - x_{3} = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} + x_{2} = 5$$
$$x_{1} + 3 x_{3} = 16$$
$$5 x_{2} - x_{3} = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 5\\1 & 0 & 3 & 16\\0 & 5 & -1 & 10\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & 3 & - \frac{5}{2} + 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & 3 & \frac{27}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 5\\0 & - \frac{1}{2} & 3 & \frac{27}{2}\\0 & 5 & -1 & 10\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{1}{2}\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & 3 & - \frac{-5}{2} + \frac{27}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 5\\1 & 0 & 3 & 16\\0 & 5 & -1 & 10\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-10 & 0 & -1 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-10 & 0 & -1 & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 5\\1 & 0 & 3 & 16\\-10 & 0 & -1 & -15\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\3\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-10 - - \frac{1}{3} & 0 & 0 & -15 - - \frac{16}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{29}{3} & 0 & 0 & - \frac{29}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 5\\1 & 0 & 3 & 16\\- \frac{29}{3} & 0 & 0 & - \frac{29}{3}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\- \frac{29}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{29}{3} & 0 & 0 & - \frac{29}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3\\1 & 0 & 3 & 16\\- \frac{29}{3} & 0 & 0 & - \frac{29}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 3\\0 & 0 & 3 & 15\\- \frac{29}{3} & 0 & 0 & - \frac{29}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{2} - 3 = 0$$
$$3 x_{3} - 15 = 0$$
$$- \frac{29 x_{1}}{3} + \frac{29}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{1} = 1$$
Численный ответ [src]
x11 = 1.00000000000000
x21 = 3.00000000000000
x31 = 5.00000000000000
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: