2*x+(1+i)*y=2*i 3*x+i*y=1-i

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x + (1 + I)*y = 2*I
$$2 x + y \left(1 + i\right) = 2 i$$
3*x + I*y = 1 - I
$$3 x + i y = 1 - i$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + y \left(1 + i\right) = 2 i$$
$$3 x + i y = 1 - i$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + y \left(1 + i\right) = 2 i$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x - y \left(1 + i\right) + y \left(1 + i\right) = - y \left(1 + i\right) + 2 i$$
$$2 x = - y \left(1 + i\right) + 2 i$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- y \left(1 + i\right) + 2 i\right)$$
$$x = - \frac{y}{2} \left(1 + i\right) + i$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + i y = 1 - i$$
Получим:
$$i y + 3 \left(- \frac{y}{2} \left(1 + i\right) + i\right) = 1 - i$$
$$- \frac{3 y}{2} - \frac{i y}{2} + 3 i = 1 - i$$
Перенесем свободное слагаемое 3*i из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{3 y}{2} - \frac{i y}{2} = - 3 i + 1 - i$$
$$- \frac{3 y}{2} - \frac{i y}{2} = 1 - 4 i$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{- \frac{3 y}{2} - \frac{i y}{2}}{- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}} = \frac{1 - 4 i}{- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}}$$
$$y = \frac{1}{5} + \frac{13 i}{5}$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{2} \left(1 + i\right) + i$$
то
$$x = - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{5} + \frac{13 i}{5}\right) \left(1 + i\right) + i$$
$$x = \frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$$

Ответ:
$$x = \frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$$
$$y = \frac{1}{5} + \frac{13 i}{5}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$$
=
$$\frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$$
=
1.2 - 0.4*i

$$y_{1} = \frac{1}{5} + \frac{13 i}{5}$$
=
$$\frac{1}{5} + \frac{13 i}{5}$$
=
0.2 + 2.6*i
Метод Крамера
[TeX]
$$2 x + y \left(1 + i\right) = 2 i$$
$$3 x + i y = 1 - i$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y + i y - 2 i = 0$$
$$3 x + i y - 1 + i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2} \left(1 + i\right)\\3 x_{1} + i x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 i\\1 - i\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 + i\\3 & i\end{matrix}\right] \right )} = -3 - i$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{-3 - i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 i & 1 + i\\1 - i & i\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1}{-3 - i} \left(1 - 4 i\right) \left(1 + i\right) + i$$
=
$$\frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$$
$$x_{2} = \frac{1}{-3 - i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 2 i\\3 & 1 - i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1 - 4 i}{- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}}$$
=
$$\frac{1}{5} + \frac{13 i}{5}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + y \left(1 + i\right) = 2 i$$
$$3 x + i y = 1 - i$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y + i y - 2 i = 0$$
$$3 x + i y - 1 + i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 + i & 2 i\\3 & i & 1 - i\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 + i & 2 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + i & - 3 i + 1 - i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} - \frac{i}{2} & 1 - 4 i\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 + i & 2 i\\0 & - \frac{3}{2} - \frac{i}{2} & 1 - 4 i\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1 + i\\- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} - \frac{i}{2} & 1 - 4 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 0 + 2 & - 1 + i + 1 + i & - \frac{\left(1 - 4 i\right) \left(1 + i\right)}{- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}} + 2 i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{\left(1 - 4 i\right) \left(1 + i\right)}{- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}} + 2 i\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{\left(1 - 4 i\right) \left(1 + i\right)}{- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}} + 2 i\\0 & - \frac{3}{2} - \frac{i}{2} & 1 - 4 i\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 2 i + \frac{\left(1 - 4 i\right) \left(1 + i\right)}{- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}} = 0$$
$$x_{2} \left(- \frac{3}{2} - \frac{i}{2}\right) - 1 + 4 i = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{6}{5} - \frac{2 i}{5}$$
$$x_{2} = \frac{1}{5} + \frac{13 i}{5}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.2 - 0.4*i
y1 = 0.2 + 2.6*i