десять *a+ сто семьдесят один *b= семьдесят семь сто семьдесят один *a+ три тысячи сорок пять *b= одна тысяча триста пятьдесят шесть
10 умножить на a плюс 171 умножить на b равно 77 171 умножить на a плюс 3045 умножить на b равно 1356
десять умножить на a плюс сто семьдесят один умножить на b равно семьдесят семь сто семьдесят один умножить на a плюс три тысячи сорок пять умножить на b равно одна тысяча триста пятьдесят шесть
Дана система ур-ний $$10 a + 171 b = 77$$ $$171 a + 3045 b = 1356$$
Из 1-го ур-ния выразим a $$10 a + 171 b = 77$$ Перенесем слагаемое с переменной b из левой части в правую со сменой знака $$10 a = - 171 b + 77$$ $$10 a = - 171 b + 77$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при a $$\frac{10 a}{10} = \frac{1}{10} \left(- 171 b + 77\right)$$ $$a = - \frac{171 b}{10} + \frac{77}{10}$$ Подставим найденное a в 2-е ур-ние $$171 a + 3045 b = 1356$$ Получим: $$3045 b + 171 \left(- \frac{171 b}{10} + \frac{77}{10}\right) = 1356$$ $$\frac{1209 b}{10} + \frac{13167}{10} = 1356$$ Перенесем свободное слагаемое 13167/10 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{1209 b}{10} = \frac{393}{10}$$ $$\frac{1209 b}{10} = \frac{393}{10}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при b $$\frac{\frac{1209}{10} b}{\frac{1209}{10} b} = \frac{393}{1209 b}$$ $$\frac{131}{403 b} = 1$$ Т.к. $$a = - \frac{171 b}{10} + \frac{77}{10}$$ то $$a = - \frac{171}{10} + \frac{77}{10}$$ $$a = - \frac{47}{5}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$10 a + 171 b = 77$$ $$171 a + 3045 b = 1356$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}10 x_{1} + 171 x_{2}\\171 x_{1} + 3045 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}77\\1356\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & 171\\171 & 3045\end{matrix}\right] \right )} = 1209$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{1209} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}77 & 171\\1356 & 3045\end{matrix}\right] \right )} = \frac{863}{403}$$ $$x_{2} = \frac{1}{1209} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & 77\\171 & 1356\end{matrix}\right] \right )} = \frac{131}{403}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$10 a + 171 b = 77$$ $$171 a + 3045 b = 1356$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$10 a + 171 b = 77$$ $$171 a + 3045 b = 1356$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}10 & 171 & 77\\171 & 3045 & 1356\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}10\\171\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}10 & 171 & 77\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{29241}{10} + 3045 & - \frac{13167}{10} + 1356\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{1209}{10} & \frac{393}{10}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}10 & 171 & 77\\0 & \frac{1209}{10} & \frac{393}{10}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}171\\\frac{1209}{10}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{1209}{10} & \frac{393}{10}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}10 & 0 & - \frac{22401}{403} + 77\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10 & 0 & \frac{8630}{403}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}10 & 0 & \frac{8630}{403}\\0 & \frac{1209}{10} & \frac{393}{10}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$10 x_{1} - \frac{8630}{403} = 0$$ $$\frac{1209 x_{2}}{10} - \frac{393}{10} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = \frac{863}{403}$$ $$x_{2} = \frac{131}{403}$$