x+y=20 2*x+4*y=56

Вы ввели

x + y = 20

$$x + y = 20$$

2*x + 4*y = 56

$$2 x + 4 y = 56$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x + y = 20$$
$$2 x + 4 y = 56$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + y = 20$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - y + 20$$
$$x = - y + 20$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 4 y = 56$$
Получим:
$$4 y + 2 \left(- y + 20\right) = 56$$
$$2 y + 40 = 56$$
Перенесем свободное слагаемое 40 из левой части в правую со сменой знака
$$2 y = 16$$
$$2 y = 16$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{2 y}{2} = 8$$
$$y = 8$$
Т.к.
$$x = - y + 20$$
то
$$x = - 8 + 20$$
$$x = 12$$

Ответ:
$$x = 12$$
$$y = 8$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 12$$
=
$$12$$
=

12

$$y_{1} = 8$$
=
$$8$$
=

8

Метод Крамера

$$x + y = 20$$
$$2 x + 4 y = 56$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 20$$
$$2 x + 4 y = 56$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}20\\56\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}20 & 1\\56 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 12$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 20\\2 & 56\end{matrix}\right] \right )} = 8$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x + y = 20$$
$$2 x + 4 y = 56$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 20$$
$$2 x + 4 y = 56$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\\2 & 4 & 56\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\\0 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 12\\0 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 12 = 0$$
$$2 x_{2} - 16 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 12$$
$$x_{2} = 8$$

Численный ответ

x1 = 12.0000000000000
y1 = 8.00000000000000