2*x+4*y-z=5 2*x-y-2*z=3 4*x+3*y-4*z=1

Вы ввели

2*x + 4*y - z = 5

$$- z + 2 x + 4 y = 5$$

2*x - y - 2*z = 3

$$- 2 z + 2 x - y = 3$$

4*x + 3*y - 4*z = 1

$$- 4 z + 4 x + 3 y = 1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 8$$
=
$$8$$
=

8

$$z_{1} = 7$$
=
$$7$$
=

7

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

$$- z + 2 x + 4 y = 5$$
$$- 2 z + 2 x - y = 3$$
$$- 4 z + 4 x + 3 y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 4 y - z = 5$$
$$2 x - y - 2 z = 3$$
$$4 x + 3 y - 4 z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + 2 x_{1} + 4 x_{2}\\- 2 x_{3} + 2 x_{1} - x_{2}\\- 4 x_{3} + 4 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\3\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 4 & -1\\2 & -1 & -2\\4 & 3 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 10$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{10} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 4 & -1\\3 & -1 & -2\\1 & 3 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 8$$
$$x_{2} = \frac{1}{10} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5 & -1\\2 & 3 & -2\\4 & 1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{3} = \frac{1}{10} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 4 & 5\\2 & -1 & 3\\4 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 7$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- z + 2 x + 4 y = 5$$
$$- 2 z + 2 x - y = 3$$
$$- 4 z + 4 x + 3 y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 4 y - z = 5$$
$$2 x - y - 2 z = 3$$
$$4 x + 3 y - 4 z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 4 & -1 & 5\\2 & -1 & -2 & 3\\4 & 3 & -4 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\2\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 4 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -1 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & -1 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 4 & -1 & 5\\0 & -5 & -1 & -2\\4 & 3 & -4 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -2 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & -2 & -9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 4 & -1 & 5\\0 & -5 & -1 & -2\\0 & -5 & -2 & -9\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-5\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -1 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -1 - \frac{4}{5} & - \frac{8}{5} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{9}{5} & \frac{17}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{9}{5} & \frac{17}{5}\\0 & -5 & -1 & -2\\0 & -5 & -2 & -9\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{9}{5} & \frac{17}{5}\\0 & -5 & -1 & -2\\0 & 0 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{9}{5}\\-1\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{9}{5} - - \frac{9}{5} & \frac{17}{5} - - \frac{63}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 16\\0 & -5 & -1 & -2\\0 & 0 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & 0 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 16\\0 & -5 & 0 & 5\\0 & 0 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 16 = 0$$
$$- 5 x_{2} - 5 = 0$$
$$- x_{3} + 7 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 7$$

Численный ответ

x1 = 8.00000000000000
y1 = -1.00000000000000
z1 = 7.00000000000000