x-2*y=5 3*x+y=16

Вы ввели

x - 2*y = 5

$$x - 2 y = 5$$

3*x + y = 16

$$3 x + y = 16$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x - 2 y = 5$$
$$3 x + y = 16$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - 2 y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 5$$
$$x = 2 y + 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + y = 16$$
Получим:
$$y + 3 \left(2 y + 5\right) = 16$$
$$7 y + 15 = 16$$
Перенесем свободное слагаемое 15 из левой части в правую со сменой знака
$$7 y = 1$$
$$7 y = 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{7 y}{7} = \frac{1}{7}$$
$$y = \frac{1}{7}$$
Т.к.
$$x = 2 y + 5$$
то
$$x = \frac{2}{7} + 5$$
$$x = \frac{37}{7}$$

Ответ:
$$x = \frac{37}{7}$$
$$y = \frac{1}{7}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{37}{7}$$
=
$$\frac{37}{7}$$
=

5.28571428571429

$$y_{1} = \frac{1}{7}$$
=
$$\frac{1}{7}$$
=

0.142857142857143

Метод Крамера

$$x - 2 y = 5$$
$$3 x + y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 2 y = 5$$
$$3 x + y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 2 x_{2}\\3 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -2\\3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{7} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -2\\16 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{37}{7}$$
$$x_{2} = \frac{1}{7} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\3 & 16\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{7}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x - 2 y = 5$$
$$3 x + y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 2 y = 5$$
$$3 x + y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 5\\3 & 1 & 16\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 5\\0 & 7 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{-2}{7} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{37}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{37}{7}\\0 & 7 & 1\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{37}{7} = 0$$
$$7 x_{2} - 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{37}{7}$$
$$x_{2} = \frac{1}{7}$$

Численный ответ

x1 = 5.285714285714286
y1 = 0.1428571428571429