Дана система ур-ний $$5 x + 3 y = 16$$ $$5 x - 3 y = 4$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$5 x + 3 y = 16$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$5 x = - 3 y + 16$$ $$5 x = - 3 y + 16$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 3 y + 16\right)$$ $$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{16}{5}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$5 x - 3 y = 4$$ Получим: $$- 3 y + 5 \left(- \frac{3 y}{5} + \frac{16}{5}\right) = 4$$ $$- 6 y + 16 = 4$$ Перенесем свободное слагаемое 16 из левой части в правую со сменой знака $$- 6 y = -12$$ $$- 6 y = -12$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-6} \left(-1 \cdot 6 y\right) = 2$$ $$y = 2$$ Т.к. $$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{16}{5}$$ то $$x = - \frac{6}{5} + \frac{16}{5}$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = 2$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
Метод Крамера
[LaTeX]
$$5 x + 3 y = 16$$ $$5 x - 3 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x + 3 y = 16$$ $$5 x - 3 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 3\\5 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -30$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 3\\4 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 16\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний $$5 x + 3 y = 16$$ $$5 x - 3 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x + 3 y = 16$$ $$5 x - 3 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 16\\5 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 16\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -6 & -12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 16\\0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\\0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$5 x_{1} - 10 = 0$$ $$- 6 x_{2} + 12 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = 2$$