5*x+3*y=16 5*x-3*y=4

5*x + 3*y = 16

$$5 x + 3 y = 16$$

5*x - 3*y = 4

$$5 x - 3 y = 4$$

Дана система ур-ний
$$5 x + 3 y = 16$$
$$5 x - 3 y = 4$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x + 3 y = 16$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = - 3 y + 16$$
$$5 x = - 3 y + 16$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 3 y + 16\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{16}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 3 y = 4$$
Получим:
$$- 3 y + 5 \left(- \frac{3 y}{5} + \frac{16}{5}\right) = 4$$
$$- 6 y + 16 = 4$$
Перенесем свободное слагаемое 16 из левой части в правую со сменой знака
$$- 6 y = -12$$
$$- 6 y = -12$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-6} \left(-1 \cdot 6 y\right) = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{5} + \frac{16}{5}$$
то
$$x = - \frac{6}{5} + \frac{16}{5}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 2$$

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$5 x + 3 y = 16$$
$$5 x - 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y = 16$$
$$5 x - 3 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}16\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 3\\5 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -30$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 3\\4 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 16\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Дана система ур-ний
$$5 x + 3 y = 16$$
$$5 x - 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 3 y = 16$$
$$5 x - 3 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 16\\5 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 & -12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 3 & 16\\0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\\0 & -6 & -12\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 10 = 0$$
$$- 6 x_{2} + 12 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2$$