два *x+ два *y- два =- пять *x+ четыре *y- шестьдесят один x/ семь -y/ девять =- четырнадцать / девять
2 умножить на х плюс 2 умножить на у минус 2 равно минус 5 умножить на х плюс 4 умножить на у минус 61 х делить на 7 минус у делить на 9 равно минус 14 делить на 9
два умножить на х плюс два умножить на у минус два равно минус пять умножить на х плюс четыре умножить на у минус шестьдесят один х делить на семь минус у делить на девять равно минус четырнадцать делить на девять
2 × x+2 × y-2=-5 × x+4 × y-61 x/7-y/9=-14/9
2x+2y-2=-5x+4y-61 x/7-y/9=-14/9
2*x+2*y-2=-5*x+4*y-61 x разделить на 7-y разделить на 9=-14 разделить на 9
Дана система ур-ний $$2 x + 2 y - 2 = - 5 x + 4 y - 61$$ $$\frac{x}{7} - \frac{y}{9} = - \frac{14}{9}$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$2 x + 2 y - 2 = - 5 x + 4 y - 61$$ Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака $$- -1 \cdot 5 x + 2 x + 2 y - 2 = 4 y - 61$$ $$7 x + 2 y - 2 = 4 y - 61$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$7 x - 2 = - 2 y + 4 y - 61$$ $$7 x - 2 = 2 y - 61$$ Перенесем свободное слагаемое -2 из левой части в правую со сменой знака $$7 x = 2 y - 61 + 2$$ $$7 x = 2 y - 59$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(2 y - 59\right)$$ $$x = \frac{2 y}{7} - \frac{59}{7}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$\frac{x}{7} - \frac{y}{9} = - \frac{14}{9}$$ Получим: $$- \frac{y}{9} + \frac{1}{7} \left(\frac{2 y}{7} - \frac{59}{7}\right) = - \frac{14}{9}$$ $$- \frac{31 y}{441} - \frac{59}{49} = - \frac{14}{9}$$ Перенесем свободное слагаемое -59/49 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{31 y}{441} = - \frac{155}{441}$$ $$- \frac{31 y}{441} = - \frac{155}{441}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{31}{441} y}{- \frac{31}{441}} = 5$$ $$y = 5$$ Т.к. $$x = \frac{2 y}{7} - \frac{59}{7}$$ то $$x = - \frac{59}{7} + \frac{10}{7}$$ $$x = -7$$
Ответ: $$x = -7$$ $$y = 5$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -7$$ = $$-7$$ =
-7
$$y_{1} = 5$$ = $$5$$ =
5
Метод Крамера
$$2 x + 2 y - 2 = - 5 x + 4 y - 61$$ $$\frac{x}{7} - \frac{y}{9} = - \frac{14}{9}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x - 2 y = -59$$ $$\frac{x}{7} - \frac{y}{9} = - \frac{14}{9}$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 x_{1} - 2 x_{2}\\\frac{x_{1}}{7} - \frac{x_{2}}{9}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-59\\- \frac{14}{9}\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -2\\\frac{1}{7} & - \frac{1}{9}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{31}{63}$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{63}{31} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-59 & -2\\- \frac{14}{9} & - \frac{1}{9}\end{matrix}\right] \right )} = -7$$ $$x_{2} = - \frac{63}{31} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -59\\\frac{1}{7} & - \frac{14}{9}\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$2 x + 2 y - 2 = - 5 x + 4 y - 61$$ $$\frac{x}{7} - \frac{y}{9} = - \frac{14}{9}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x - 2 y = -59$$ $$\frac{x}{7} - \frac{y}{9} = - \frac{14}{9}$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 & -2 & -59\\\frac{1}{7} & - \frac{1}{9} & - \frac{14}{9}\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}7\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}7 & -2 & -59\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{7} + \frac{1}{7} & - \frac{1}{9} - - \frac{2}{49} & - \frac{14}{9} - - \frac{59}{49}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{31}{441} & - \frac{155}{441}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & -2 & -59\\0 & - \frac{31}{441} & - \frac{155}{441}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-2\\- \frac{31}{441}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{31}{441} & - \frac{155}{441}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -49\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & -49\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -49\\0 & - \frac{31}{441} & - \frac{155}{441}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$7 x_{1} + 49 = 0$$ $$- \frac{31 x_{2}}{441} + \frac{155}{441} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = -7$$ $$x_{2} = 5$$