2*x+y=1 x+3*y=13

Вы ввели

2*x + y = 1

$$2 x + y = 1$$

x + 3*y = 13

$$x + 3 y = 13$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + y = 1$$
$$x + 3 y = 13$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + y = 1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - y + 1$$
$$2 x = - y + 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- y + 1\right)$$
$$x = - \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x + 3 y = 13$$
Получим:
$$3 y + - \frac{y}{2} + \frac{1}{2} = 13$$
$$\frac{5 y}{2} + \frac{1}{2} = 13$$
Перенесем свободное слагаемое 1/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 y}{2} = \frac{25}{2}$$
$$\frac{5 y}{2} = \frac{25}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{5}{2} y}{\frac{5}{2}} = 5$$
$$y = 5$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$$
то
$$x = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x = -2$$

Ответ:
$$x = -2$$
$$y = 5$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

Метод Крамера

$$2 x + y = 1$$
$$x + 3 y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 1$$
$$x + 3 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\13 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\1 & 13\end{matrix}\right] \right )} = 5$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + y = 1$$
$$x + 3 y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 1$$
$$x + 3 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\\1 & 3 & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} + 3 & - \frac{1}{2} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\\0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\\0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} + 4 = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{2} - \frac{25}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 5$$

Численный ответ

x1 = -2.00000000000000
y1 = 5.00000000000000