Дана система ур-ний $$2 x + y = 1$$ $$x + 3 y = 13$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$2 x + y = 1$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$2 x = - y + 1$$ $$2 x = - y + 1$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- y + 1\right)$$ $$x = - \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$x + 3 y = 13$$ Получим: $$3 y + - \frac{y}{2} + \frac{1}{2} = 13$$ $$\frac{5 y}{2} + \frac{1}{2} = 13$$ Перенесем свободное слагаемое 1/2 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{5 y}{2} = \frac{25}{2}$$ $$\frac{5 y}{2} = \frac{25}{2}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{5}{2} y}{\frac{5}{2}} = 5$$ $$y = 5$$ Т.к. $$x = - \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$$ то $$x = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$$ $$x = -2$$
Ответ: $$x = -2$$ $$y = 5$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -2$$ = $$-2$$ =
-2
$$y_{1} = 5$$ = $$5$$ =
5
Метод Крамера
$$2 x + y = 1$$ $$x + 3 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x + y = 1$$ $$x + 3 y = 13$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 5$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\13 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -2$$ $$x_{2} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\1 & 13\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$2 x + y = 1$$ $$x + 3 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x + y = 1$$ $$x + 3 y = 13$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\\1 & 3 & 13\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} + 3 & - \frac{1}{2} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 1\\0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -4\\0 & \frac{5}{2} & \frac{25}{2}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$2 x_{1} + 4 = 0$$ $$\frac{5 x_{2}}{2} - \frac{25}{2} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = -2$$ $$x_{2} = 5$$