x+5*y=3 2*x-5*y=-6

Вы ввели

x + 5*y = 3

$$x + 5 y = 3$$

2*x - 5*y = -6

$$2 x - 5 y = -6$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x + 5 y = 3$$
$$2 x - 5 y = -6$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 5 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 5 y + 3$$
$$x = - 5 y + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x - 5 y = -6$$
Получим:
$$- 5 y + 2 \left(- 5 y + 3\right) = -6$$
$$- 15 y + 6 = -6$$
Перенесем свободное слагаемое 6 из левой части в правую со сменой знака
$$- 15 y = -12$$
$$- 15 y = -12$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-15} \left(-1 \cdot 15 y\right) = \frac{4}{5}$$
$$y = \frac{4}{5}$$
Т.к.
$$x = - 5 y + 3$$
то
$$x = - 4 + 3$$
$$x = -1$$

Ответ:
$$x = -1$$
$$y = \frac{4}{5}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$y_{1} = \frac{4}{5}$$
=
$$\frac{4}{5}$$
=

0.8

Метод Крамера

$$x + 5 y = 3$$
$$2 x - 5 y = -6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y = 3$$
$$2 x - 5 y = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 5 x_{2}\\2 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\2 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -15$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{15} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5\\-6 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{15} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\2 & -6\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4}{5}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x + 5 y = 3$$
$$2 x - 5 y = -6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y = 3$$
$$2 x - 5 y = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3\\2 & -5 & -6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & -12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -15 & -12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3\\0 & -15 & -12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & -12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\0 & -15 & -12\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 1 = 0$$
$$- 15 x_{2} + 12 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{4}{5}$$

Численный ответ

x1 = -1.00000000000000
y1 = 0.800000000000000