y*1/12=x*1/12 12*x+12*y=100
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
y x -- = -- 12 12
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
12*x + 12*y = 100
$$12 x + 12 y = 100$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = - \frac{x}{12} + \frac{x}{12}$$
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{x}{12} = - \frac{y}{12}$$
$$- \frac{x}{12} = - \frac{y}{12}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{-1 \frac{1}{12} x}{- \frac{1}{12}} = \frac{-1 \frac{1}{12} y}{- \frac{1}{12}}$$
$$x = y$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$12 x + 12 y = 100$$
Получим:
$$12 y + 12 y = 100$$
$$24 y = 100$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{24 y}{24} = \frac{25}{6}$$
$$y = \frac{25}{6}$$
Т.к.
$$x = y$$
то
$$x = \frac{25}{6}$$
$$x = \frac{25}{6}$$
Ответ:
$$x = \frac{25}{6}$$
$$y = \frac{25}{6}$$
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = - \frac{x}{12} + \frac{x}{12}$$
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{x}{12} = - \frac{y}{12}$$
$$- \frac{x}{12} = - \frac{y}{12}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{-1 \frac{1}{12} x}{- \frac{1}{12}} = \frac{-1 \frac{1}{12} y}{- \frac{1}{12}}$$
$$x = y$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$12 x + 12 y = 100$$
Получим:
$$12 y + 12 y = 100$$
$$24 y = 100$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{24 y}{24} = \frac{25}{6}$$
$$y = \frac{25}{6}$$
Т.к.
$$x = y$$
то
$$x = \frac{25}{6}$$
$$x = \frac{25}{6}$$
Ответ:
$$x = \frac{25}{6}$$
$$y = \frac{25}{6}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{25}{6}$$
=
$$\frac{25}{6}$$
=
$$y_{1} = \frac{25}{6}$$
=
$$\frac{25}{6}$$
=
=
$$\frac{25}{6}$$
=
4.16666666666667
$$y_{1} = \frac{25}{6}$$
=
$$\frac{25}{6}$$
=
4.16666666666667
Метод Крамера
[TeX]
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = 0$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{1}}{12} + \frac{x_{2}}{12}\\12 x_{1} + 12 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12}\\12 & 12\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{12}\\100 & 12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{25}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & 0\\12 & 100\end{matrix}\right] \right )} = \frac{25}{6}$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = 0$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{1}}{12} + \frac{x_{2}}{12}\\12 x_{1} + 12 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12}\\12 & 12\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{12}\\100 & 12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{25}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & 0\\12 & 100\end{matrix}\right] \right )} = \frac{25}{6}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = 0$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & 0\\12 & 12 & 100\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12}\\12\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 24 & 100\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & 0\\0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{1}{12}\\24\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} & - \frac{25}{72}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & 0 & - \frac{25}{72}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & 0 & - \frac{25}{72}\\0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- \frac{x_{1}}{12} + \frac{25}{72} = 0$$
$$24 x_{2} - 100 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{25}{6}$$
$$x_{2} = \frac{25}{6}$$
$$\frac{y}{12} = \frac{x}{12}$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = 0$$
$$12 x + 12 y = 100$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & 0\\12 & 12 & 100\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12}\\12\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 24 & 100\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & 0\\0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{1}{12}\\24\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} & - \frac{25}{72}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & 0 & - \frac{25}{72}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{12} & 0 & - \frac{25}{72}\\0 & 24 & 100\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- \frac{x_{1}}{12} + \frac{25}{72} = 0$$
$$24 x_{2} - 100 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{25}{6}$$
$$x_{2} = \frac{25}{6}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 4.166666666666667 y1 = 4.166666666666667