x+3*y+z=6 2*x+3*y+3*z=13 3*x+3*y+z=8

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Примеры

Решение

Вы ввели [src]
x + 3*y + z = 6
$$z + x + 3 y = 6$$
2*x + 3*y + 3*z = 13
$$3 z + 2 x + 3 y = 13$$
3*x + 3*y + z = 8
$$z + 3 x + 3 y = 8$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1

$$z_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
3

$$y_{1} = \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
=
0.666666666666667
Метод Крамера
$$z + x + 3 y = 6$$
$$3 z + 2 x + 3 y = 13$$
$$z + 3 x + 3 y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y + z = 6$$
$$2 x + 3 y + 3 z = 13$$
$$3 x + 3 y + z = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + x_{1} + 3 x_{2}\\3 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2}\\x_{3} + 3 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\13\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3 & 1\\2 & 3 & 3\\3 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 12$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{12} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 3 & 1\\13 & 3 & 3\\8 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{12} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 6 & 1\\2 & 13 & 3\\3 & 8 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2}{3}$$
$$x_{3} = \frac{1}{12} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3 & 6\\2 & 3 & 13\\3 & 3 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$z + x + 3 y = 6$$
$$3 z + 2 x + 3 y = 13$$
$$z + 3 x + 3 y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y + z = 6$$
$$2 x + 3 y + 3 z = 13$$
$$3 x + 3 y + z = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 6\\2 & 3 & 3 & 13\\3 & 3 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 6\\0 & -3 & 1 & 1\\3 & 3 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 & -2 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -6 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 6\\0 & -3 & 1 & 1\\0 & -6 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-3\\-6\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 7\\0 & -3 & 1 & 1\\0 & -6 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 & -12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 & -12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 7\\0 & -3 & 1 & 1\\0 & 0 & -4 & -12\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 & -12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -3 & 1 & 1\\0 & 0 & -4 & -12\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -3 & 0 & -2\\0 & 0 & -4 & -12\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$- 3 x_{2} + 2 = 0$$
$$- 4 x_{3} + 12 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{2}{3}$$
$$x_{3} = 3$$
Численный ответ [src]
x1 = 1.00000000000000
y1 = 0.6666666666666667
z1 = 3.00000000000000
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: