2*x+5*y=-11 x-3*y=11

Вы ввели

2*x + 5*y = -11

$$2 x + 5 y = -11$$

x - 3*y = 11

$$x - 3 y = 11$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = -11$$
$$x - 3 y = 11$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 5 y = -11$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 5 y - 11$$
$$2 x = - 5 y - 11$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 5 y - 11\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{2} - \frac{11}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 3 y = 11$$
Получим:
$$- 3 y + - \frac{5 y}{2} - \frac{11}{2} = 11$$
$$- \frac{11 y}{2} - \frac{11}{2} = 11$$
Перенесем свободное слагаемое -11/2 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{11 y}{2} = \frac{33}{2}$$
$$- \frac{11 y}{2} = \frac{33}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{11}{2} y}{- \frac{11}{2}} = -3$$
$$y = -3$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{2} - \frac{11}{2}$$
то
$$x = - \frac{11}{2} - - \frac{15}{2}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = -3$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=

-3

Метод Крамера

$$2 x + 5 y = -11$$
$$x - 3 y = 11$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = -11$$
$$x - 3 y = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 5 x_{2}\\x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-11\\11\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\1 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-11 & 5\\11 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -11\\1 & 11\end{matrix}\right] \right )} = -3$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = -11$$
$$x - 3 y = 11$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = -11$$
$$x - 3 y = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & -11\\1 & -3 & 11\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & -11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{5}{2} & - \frac{-11}{2} + 11\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{2} & \frac{33}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & -11\\0 & - \frac{11}{2} & \frac{33}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{2} & \frac{33}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & - \frac{11}{2} & \frac{33}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$- \frac{11 x_{2}}{2} - \frac{33}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -3$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = -3.00000000000000