7*x+4*y=68 5*x-2*y=17

Вы ввели

7*x + 4*y = 68

$$7 x + 4 y = 68$$

5*x - 2*y = 17

$$5 x - 2 y = 17$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$7 x + 4 y = 68$$
$$5 x - 2 y = 17$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$7 x + 4 y = 68$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = - 4 y + 68$$
$$7 x = - 4 y + 68$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- 4 y + 68\right)$$
$$x = - \frac{4 y}{7} + \frac{68}{7}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = 17$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{4 y}{7} + \frac{68}{7}\right) = 17$$
$$- \frac{34 y}{7} + \frac{340}{7} = 17$$
Перенесем свободное слагаемое 340/7 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{34 y}{7} = - \frac{221}{7}$$
$$- \frac{34 y}{7} = - \frac{221}{7}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{34}{7} y}{- \frac{34}{7}} = \frac{13}{2}$$
$$y = \frac{13}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{4 y}{7} + \frac{68}{7}$$
то
$$x = - \frac{26}{7} + \frac{68}{7}$$
$$x = 6$$

Ответ:
$$x = 6$$
$$y = \frac{13}{2}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 6$$
=
$$6$$
=

6

$$y_{1} = \frac{13}{2}$$
=
$$\frac{13}{2}$$
=

6.5

Метод Крамера

$$7 x + 4 y = 68$$
$$5 x - 2 y = 17$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 4 y = 68$$
$$5 x - 2 y = 17$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 4 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}68\\17\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 4\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -34$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}68 & 4\\17 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
$$x_{2} = - \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 68\\5 & 17\end{matrix}\right] \right )} = \frac{13}{2}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$7 x + 4 y = 68$$
$$5 x - 2 y = 17$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 4 y = 68$$
$$5 x - 2 y = 17$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & 4 & 68\\5 & -2 & 17\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & 4 & 68\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{20}{7} - 2 & - \frac{340}{7} + 17\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 4 & 68\\0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{34}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 42\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 42\\0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} - 42 = 0$$
$$- \frac{34 x_{2}}{7} + \frac{221}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = \frac{13}{2}$$

Численный ответ

x1 = 6.00000000000000
y1 = 6.50000000000000