Дана система ур-ний $$7 x + 4 y = 68$$ $$5 x - 2 y = 17$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$7 x + 4 y = 68$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$7 x = - 4 y + 68$$ $$7 x = - 4 y + 68$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- 4 y + 68\right)$$ $$x = - \frac{4 y}{7} + \frac{68}{7}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$5 x - 2 y = 17$$ Получим: $$- 2 y + 5 \left(- \frac{4 y}{7} + \frac{68}{7}\right) = 17$$ $$- \frac{34 y}{7} + \frac{340}{7} = 17$$ Перенесем свободное слагаемое 340/7 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{34 y}{7} = - \frac{221}{7}$$ $$- \frac{34 y}{7} = - \frac{221}{7}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{34}{7} y}{- \frac{34}{7}} = \frac{13}{2}$$ $$y = \frac{13}{2}$$ Т.к. $$x = - \frac{4 y}{7} + \frac{68}{7}$$ то $$x = - \frac{26}{7} + \frac{68}{7}$$ $$x = 6$$
Ответ: $$x = 6$$ $$y = \frac{13}{2}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 6$$ = $$6$$ =
6
$$y_{1} = \frac{13}{2}$$ = $$\frac{13}{2}$$ =
6.5
Метод Крамера
$$7 x + 4 y = 68$$ $$5 x - 2 y = 17$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + 4 y = 68$$ $$5 x - 2 y = 17$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 4 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}68\\17\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 4\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -34$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}68 & 4\\17 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 6$$ $$x_{2} = - \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 68\\5 & 17\end{matrix}\right] \right )} = \frac{13}{2}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$7 x + 4 y = 68$$ $$5 x - 2 y = 17$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + 4 y = 68$$ $$5 x - 2 y = 17$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 & 4 & 68\\5 & -2 & 17\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}7 & 4 & 68\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{20}{7} - 2 & - \frac{340}{7} + 17\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 4 & 68\\0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{34}{7}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 42\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 42\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 42\\0 & - \frac{34}{7} & - \frac{221}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$7 x_{1} - 42 = 0$$ $$- \frac{34 x_{2}}{7} + \frac{221}{7} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 6$$ $$x_{2} = \frac{13}{2}$$