Дана система ур-ний $$x + y = 400$$ $$2 \left(x + 250\right) = y + 250 + 250$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x + y = 400$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$x = - y + 400$$ $$x = - y + 400$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$2 \left(x + 250\right) = y + 250 + 250$$ Получим: $$2 \left(- y + 400 + 250\right) = y + 250 + 250$$ $$- 2 y + 1300 = y + 500$$ Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака $$- y + - 2 y + 1300 = 500$$ $$- 3 y + 1300 = 500$$ Перенесем свободное слагаемое 1300 из левой части в правую со сменой знака $$- 3 y = -800$$ $$- 3 y = -800$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-3} \left(-1 \cdot 3 y\right) = \frac{800}{3}$$ $$y = \frac{800}{3}$$ Т.к. $$x = - y + 400$$ то $$x = - \frac{800}{3} + 400$$ $$x = \frac{400}{3}$$
$$x + y = 400$$ $$2 \left(x + 250\right) = y + 250 + 250$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + y = 400$$ $$2 x - y = 0$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}400\\0\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -3$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}400 & 1\\0 & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{400}{3}$$ $$x_{2} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 400\\2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{800}{3}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x + y = 400$$ $$2 \left(x + 250\right) = y + 250 + 250$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + y = 400$$ $$2 x - y = 0$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 400\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 400\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -800\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -800\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 400\\0 & -3 & -800\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -800\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{800}{3} + 400\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{400}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{400}{3}\\0 & -3 & -800\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - \frac{400}{3} = 0$$ $$- 3 x_{2} + 800 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = \frac{400}{3}$$ $$x_{2} = \frac{800}{3}$$