6*x+2*y=4 5*x-2*y=-4
Решение
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$6 x + 2 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$6 x = - 2 y + 4$$
$$6 x = - 2 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6} \left(- 2 y + 4\right)$$
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{2}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = -4$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{y}{3} + \frac{2}{3}\right) = -4$$
$$- \frac{11 y}{3} + \frac{10}{3} = -4$$
Перенесем свободное слагаемое 10/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{11 y}{3} = - \frac{22}{3}$$
$$- \frac{11 y}{3} = - \frac{22}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{11}{3} y}{- \frac{11}{3}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{2}{3}$$
то
$$x = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x = 0$$
Ответ:
$$x = 0$$
$$y = 2$$
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$6 x + 2 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$6 x = - 2 y + 4$$
$$6 x = - 2 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6} \left(- 2 y + 4\right)$$
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{2}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = -4$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{y}{3} + \frac{2}{3}\right) = -4$$
$$- \frac{11 y}{3} + \frac{10}{3} = -4$$
Перенесем свободное слагаемое 10/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{11 y}{3} = - \frac{22}{3}$$
$$- \frac{11 y}{3} = - \frac{22}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{11}{3} y}{- \frac{11}{3}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{2}{3}$$
то
$$x = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$$
$$x = 0$$
Ответ:
$$x = 0$$
$$y = 2$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
=
$$0$$
=
0
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
Метод Крамера
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 2\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -22$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{22} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\-4 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{22} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 4\\5 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 2\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -22$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{22} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\-4 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{22} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 4\\5 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 & 2 & 4\\5 & -2 & -4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}6 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - \frac{5}{3} & -4 - \frac{10}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 2 & 4\\0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 0\\0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$6 x_{1} = 0$$
$$- \frac{11 x_{2}}{3} + \frac{22}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 & 2 & 4\\5 & -2 & -4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}6 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - \frac{5}{3} & -4 - \frac{10}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 2 & 4\\0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 0\\0 & - \frac{11}{3} & - \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$6 x_{1} = 0$$
$$- \frac{11 x_{2}}{3} + \frac{22}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$