10*x+15*y=123 2*x+y=35

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
10*x + 15*y = 123
$$10 x + 15 y = 123$$
2*x + y = 35
$$2 x + y = 35$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$10 x + 15 y = 123$$
$$2 x + y = 35$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$10 x + 15 y = 123$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$10 x = - 15 y + 123$$
$$10 x = - 15 y + 123$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10} \left(- 15 y + 123\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{123}{10}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + y = 35$$
Получим:
$$y + 2 \left(- \frac{3 y}{2} + \frac{123}{10}\right) = 35$$
$$- 2 y + \frac{123}{5} = 35$$
Перенесем свободное слагаемое 123/5 из левой части в правую со сменой знака
$$- 2 y = \frac{52}{5}$$
$$- 2 y = \frac{52}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 y\right) = - \frac{26}{5}$$
$$y = - \frac{26}{5}$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{123}{10}$$
то
$$x = - \frac{-39}{5} + \frac{123}{10}$$
$$x = \frac{201}{10}$$

Ответ:
$$x = \frac{201}{10}$$
$$y = - \frac{26}{5}$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = \frac{201}{10}$$
=
$$\frac{201}{10}$$
=
20.1

$$y_{1} = - \frac{26}{5}$$
=
$$- \frac{26}{5}$$
=
-5.2
Метод Крамера
[LaTeX]
$$10 x + 15 y = 123$$
$$2 x + y = 35$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 x + 15 y = 123$$
$$2 x + y = 35$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}10 x_{1} + 15 x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}123\\35\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & 15\\2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -20$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{20} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}123 & 15\\35 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{201}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{20} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & 123\\2 & 35\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{26}{5}$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$10 x + 15 y = 123$$
$$2 x + y = 35$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 x + 15 y = 123$$
$$2 x + y = 35$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}10 & 15 & 123\\2 & 1 & 35\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}10 & 15 & 123\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & - \frac{123}{5} + 35\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & \frac{52}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}10 & 15 & 123\\0 & -2 & \frac{52}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & \frac{52}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & 201\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10 & 0 & 201\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & 201\\0 & -2 & \frac{52}{5}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$10 x_{1} - 201 = 0$$
$$- 2 x_{2} - \frac{52}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{201}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{26}{5}$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = 20.1000000000000
y1 = -5.20000000000000