(a+4)*x^2+(2*a+3)*x+a=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (a+4)*x^2+(2*a+3)*x+a=0

Вы ввели

         2                      
(a + 4)*x  + (2*a + 3)*x + a = 0

$$a + x^{2} \left(a + 4\right) + x \left(2 a + 3\right) = 0$$

Подробное решение

Раскроем выражение в уравнении
$$a + x^{2} \left(a + 4\right) + x \left(2 a + 3\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$a x^{2} + 2 a x + a + 4 x^{2} + 3 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = a + 4$$
$$b = 2 a + 3$$
$$c = a$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3 + 2*a)^2 - 4 * (4 + a) * (a) = (3 + 2*a)^2 - a*(16 + 4*a)

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2 a + 8} \left(- 2 a + \sqrt{- a \left(4 a + 16\right) + \left(2 a + 3\right)^{2}} - 3\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 a + 8} \left(- 2 a - \sqrt{- a \left(4 a + 16\right) + \left(2 a + 3\right)^{2}} - 3\right)$$

Быстрый ответ

       /            /              ____________________________                                  \   /                  ____________________________                                  \      \               /                  ____________________________                                  \   /              ____________________________                                  \      
       |            |           4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|   |               4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|      |               |               4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|   |           4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|      
       |(4 + re(a))*|-2*im(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------||   |-3 - 2*re(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------||*im(a)|   (4 + re(a))*|-3 - 2*re(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------||   |-2*im(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------||*im(a)
       |            \                                              \             2              //   \                                                  \             2              //      |               \                                                  \             2              //   \                                              \             2              //      
x1 = I*|------------------------------------------------------------------------------------------ - ----------------------------------------------------------------------------------------| + ---------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------
       |                                  /           2     2   \                                                                     /           2     2   \                                |                                       /           2     2   \                                                                     /           2     2   \                              
       \                                2*\(4 + re(a))  + im (a)/                                                                   2*\(4 + re(a))  + im (a)/                                /                                     2*\(4 + re(a))  + im (a)/                                                                   2*\(4 + re(a))  + im (a)/                              

$$x_{1} = \frac{\Im{a}}{2 \left(\Re{a} + 4\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} - 2 \Im{a}\right) + i \left(\frac{1}{2 \left(\Re{a} + 4\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} - 2 \Im{a}\right) \left(\Re{a} + 4\right) - \frac{\Im{a}}{2 \left(\Re{a} + 4\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} - 2 \Re{a} - 3\right)\right) + \frac{1}{2 \left(\Re{a} + 4\right)^{2} + 2 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\Re{a} + 4\right) \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} - 2 \Re{a} - 3\right)$$

       /                /             ____________________________                                  \     /                 ____________________________                                  \      \                 /                 ____________________________                                  \     /             ____________________________                                  \      
       |                |          4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|     |              4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|      |                 |              4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|     |          4 /              2        2        /atan2(-4*im(a), 9 - 4*re(a))\|      
       |  (8 + 2*re(a))*|2*im(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------||   2*|3 + 2*re(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------||*im(a)|   (8 + 2*re(a))*|3 + 2*re(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|----------------------------||   2*|2*im(a) + \/  (9 - 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|----------------------------||*im(a)
       |                \                                             \             2              //     \                                                 \             2              //      |                 \                                                 \             2              //     \                                             \             2              //      
x2 = I*|- ------------------------------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------| - ----------------------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------------------------
       |                                                2       2                                                                                    2       2                                   |                                                   2       2                                                                                    2       2                                 
       \                                   (8 + 2*re(a))  + 4*im (a)                                                                    (8 + 2*re(a))  + 4*im (a)                                /                                      (8 + 2*re(a))  + 4*im (a)                                                                    (8 + 2*re(a))  + 4*im (a)                              

$$x_{2} = - \frac{2 \Im{a}}{\left(2 \Re{a} + 8\right)^{2} + 4 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} + 2 \Im{a}\right) + i \left(- \frac{1}{\left(2 \Re{a} + 8\right)^{2} + 4 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} + 2 \Im{a}\right) \left(2 \Re{a} + 8\right) + \frac{2 \Im{a}}{\left(2 \Re{a} + 8\right)^{2} + 4 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} + 2 \Re{a} + 3\right)\right) - \frac{1}{\left(2 \Re{a} + 8\right)^{2} + 4 \left(\Im{a}\right)^{2}} \left(2 \Re{a} + 8\right) \left(\sqrt[4]{\left(- 4 \Re{a} + 9\right)^{2} + 16 \left(\Im{a}\right)^{2}} \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (- 4 \Im{a},- 4 \Re{a} + 9 \right )} \right )} + 2 \Re{a} + 3\right)$$

Решение параметрического уравнения

Дано уравнение с параметром:
$$a + x^{2} \left(a + 4\right) + x \left(2 a + 3\right) = 0$$
Коэффициент при x равен
$$a + 4$$
тогда возможные случаи для a :
$$a < -4$$
$$a = -4$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a < -4$$
уравнение будет
$$- x^{2} - 7 x - 5 = 0$$
его решение
$$x = - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{29}}{2}$$
$$x = - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
При
$$a = -4$$
уравнение будет
$$- 5 x - 4 = 0$$
его решение
$$x = - \frac{4}{5}$$