4^x+1+7*2^x-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^x+1+7*2^x-2=0

Вы ввели

 x          x        
4  + 1 + 7*2  - 2 = 0

$$7 \cdot 2^{x} + 4^{x} - 2 + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$7 \cdot 2^{x} + 4^{x} - 2 + 1 = 0$$
или
$$\left(7 \cdot 2^{x} + 4^{x} - 2 + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} + 7 v - 1 = 0$$
или
$$v^{2} + 7 v - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 7$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(7)^2 - 4 * (1) * (-1) = 53

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{7}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(- \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(-7 + \sqrt{53} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(- \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{7}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2} \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

             /       ____\
          log\-7 + \/ 53 /
x1 = -1 + ----------------
               log(2)     

$$x_{1} = \frac{\log{\left(-7 + \sqrt{53} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1$$

        /      ____\         
        |7   \/ 53 |         
     log|- + ------|         
        \2     2   /    pi*I 
x2 = --------------- + ------
          log(2)       log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                               /      ____\         
                               |7   \/ 53 |         
            /       ____\   log|- + ------|         
         log\-7 + \/ 53 /      \2     2   /    pi*I 
0 + -1 + ---------------- + --------------- + ------
              log(2)             log(2)       log(2)

$$\left(\left(\frac{\log{\left(-7 + \sqrt{53} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1\right) + 0\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

                           /      ____\         
                           |7   \/ 53 |         
        /       ____\   log|- + ------|         
     log\-7 + \/ 53 /      \2     2   /    pi*I 
-1 + ---------------- + --------------- + ------
          log(2)             log(2)       log(2)

$$\frac{\log{\left(-7 + \sqrt{53} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1 + \frac{\log{\left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

                          /   /      ____\         \
                          |   |7   \/ 53 |         |
  /        /       ____\\ |log|- + ------|         |
  |     log\-7 + \/ 53 /| |   \2     2   /    pi*I |
1*|-1 + ----------------|*|--------------- + ------|
  \          log(2)     / \     log(2)       log(2)/

$$1 \left(\frac{\log{\left(-7 + \sqrt{53} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1\right) \left(\frac{\log{\left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

/             /       ____\\ /                    /      ____\\
\-log(2) + log\-7 + \/ 53 //*\-log(2) + pi*I + log\7 + \/ 53 //
---------------------------------------------------------------
                               2                               
                            log (2)                            

$$\frac{\left(\log{\left(-7 + \sqrt{53} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) \left(- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(7 + \sqrt{53} \right)} + i \pi\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$

Численный ответ

x1 = 2.83593517622287 + 4.53236014182719*i

x2 = -2.83593517622287

График