cos^2x-cosx-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos^2x-cosx-2=0

Вы ввели

   2                    
cos (x) - cos(x) - 2 = 0

$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$
$$\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 2\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \pi$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n$$

Быстрый ответ

x1 = pi

$$x_{1} = \pi$$

x2 = 2*pi - I*im(acos(2))

$$x_{2} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}$$

x3 = I*im(acos(2)) + re(acos(2))

$$x_{3} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + pi + 2*pi - I*im(acos(2)) + I*im(acos(2)) + re(acos(2))

$$\left(\left(0 + \pi\right) + \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}\right)$$

=

3*pi + re(acos(2))

$$\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)} + 3 \pi$$

произведение

1*pi*(2*pi - I*im(acos(2)))*(I*im(acos(2)) + re(acos(2)))

$$1 \pi \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}\right)$$

=

pi*(2*pi - I*im(acos(2)))*(I*im(acos(2)) + re(acos(2)))

$$\pi \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(2 \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

x1 = 15.7079634444905

x2 = -84.8230013435225

x3 = -15.7079632965508

x4 = -40.8407047915367

x5 = -78.5398160783629

x6 = -97.3893724448811

x7 = 78.539816185312

x8 = -28.2743331480093

x9 = 91.106187255292

x10 = 34.5575190275229

x11 = 53.4070749084384

x12 = -53.4070752875747

x13 = -91.106187225664

x14 = 40.8407042376183

x15 = -72.256630304071

x16 = 9.42477777405166

x17 = 97.3893720447063

x18 = 97.3893725394505

x19 = 59.6902606020742

x20 = 9.42477823100035

x21 = -97.3893725703384

x22 = 21.9911485851996

x23 = -21.9911485864482

x24 = 84.8230013925009

x25 = -2315.35378614432

x26 = 47.1238895073209

x27 = -3.14159291704141

x28 = -47.1238900714713

x29 = 72.2566310277185

x30 = 59.6902609894284

x31 = -40.8407041932212

x32 = -84.8230019402376

x33 = -65.9734457649873

x34 = -78.5398164880203

x35 = 4143.76071021141

x36 = 40.840704697651

x37 = -34.5575189235698

x38 = 4702.96420220656

x39 = -59.6902604576945

x40 = -91.1061867148735

x41 = 84.8230018316838

x42 = -9.42477844645654

x43 = -72.2566308712826

x44 = 91.1061866574186

x45 = 3.14159235765986

x46 = 34.5575186075839

x47 = 3422008.07225648

x48 = 47.123890106208

x49 = 28.2743338651939

x50 = -53.4070755045829

x51 = 53.4070753853423

x52 = 78.5398156663698

x53 = -9.42477813010624

x54 = -47.1238895758347

x55 = -28.2743337132931

x56 = -3.14159243826294

x57 = 65.9734457529257

x58 = 15.7079639324176

x59 = 78.5398169309716

x60 = 3.14159295669587

x61 = -34.5575193582001

График