76=2*6*x^3 (уравнение)

Найду корень уравнения: 76=2*6*x^3

Вы ввели

         3
76 = 12*x 

$$76 = 12 x^{3}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$76 = 12 x^{3}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{12} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{76}$$
или
$$\sqrt[3]{12} x = \sqrt[3]{76}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*12^1/3 = 76^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*12^1/3 = 76^1/3

Разделим обе части ур-ния на 12^(1/3)

x = 76^(1/3) / (12^(1/3))

Получим ответ: x = 171^(1/3)/3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{19}{3}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{19}{3}$$
где
$$r = \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

      2/3 3 ____
     3   *\/ 19 
x1 = -----------
          3     

$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3}$$

        2/3 3 ____     6 ___ 3 ____
       3   *\/ 19    I*\/ 3 *\/ 19 
x2 = - ----------- - --------------
            6              2       

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}$$

        2/3 3 ____     6 ___ 3 ____
       3   *\/ 19    I*\/ 3 *\/ 19 
x3 = - ----------- + --------------
            6              2       

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

 2/3 3 ____      2/3 3 ____     6 ___ 3 ____      2/3 3 ____     6 ___ 3 ____
3   *\/ 19      3   *\/ 19    I*\/ 3 *\/ 19      3   *\/ 19    I*\/ 3 *\/ 19 
----------- + - ----------- - -------------- + - ----------- + --------------
     3               6              2                 6              2       

$$\left(\frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3} + \left(- \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

 2/3 3 ____ /   2/3 3 ____     6 ___ 3 ____\ /   2/3 3 ____     6 ___ 3 ____\
3   *\/ 19  |  3   *\/ 19    I*\/ 3 *\/ 19 | |  3   *\/ 19    I*\/ 3 *\/ 19 |
-----------*|- ----------- - --------------|*|- ----------- + --------------|
     3      \       6              2       / \       6              2       /

$$\frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3} \left(- \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{19} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{\sqrt[3]{19} \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

19/3

$$\frac{19}{3}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$76 = 12 x^{3}$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - \frac{19}{3} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{19}{3}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{19}{3}$$

Численный ответ

x1 = -0.925083183818591 + 1.60229107560138*i

x2 = 1.85016636763718

x3 = -0.925083183818591 - 1.60229107560138*i

График