16^(x-9)=1/2 (уравнение)

Найду корень уравнения: 16^(x-9)=1/2

Вы ввели

  x - 9      
16      = 1/2

$$16^{x - 9} = \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$16^{x - 9} = \frac{1}{2}$$
или
$$16^{x - 9} - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$\frac{16^{x}}{68719476736} = \frac{1}{2}$$
или
$$16^{x} = 34359738368$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 16^{x}$$
получим
$$v - 34359738368 = 0$$
или
$$v - 34359738368 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 34359738368$$
Получим ответ: v = 34359738368
делаем обратную замену
$$16^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(16 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{\log{\left(16 \right)}} = \frac{35}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = 35/4

$$x_{1} = \frac{35}{4}$$

     log(34359738368)     pi*I  
x2 = ---------------- - --------
         4*log(2)       2*log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

     log(34359738368)     pi*I  
x3 = ---------------- + --------
         4*log(2)       2*log(2)

$$x_{3} = \frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

     35    pi*I 
x4 = -- + ------
     4    log(2)

$$x_{4} = \frac{35}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           log(34359738368)     pi*I     log(34359738368)     pi*I     35    pi*I 
0 + 35/4 + ---------------- - -------- + ---------------- + -------- + -- + ------
               4*log(2)       2*log(2)       4*log(2)       2*log(2)   4    log(2)

$$\left(\left(\left(0 + \frac{35}{4}\right) + \left(\frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{35}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

35   log(34359738368)    pi*I 
-- + ---------------- + ------
2        2*log(2)       log(2)

$$\frac{35}{2} + \frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

       /log(34359738368)     pi*I  \ /log(34359738368)     pi*I  \ /35    pi*I \
1*35/4*|---------------- - --------|*|---------------- + --------|*|-- + ------|
       \    4*log(2)       2*log(2)/ \    4*log(2)       2*log(2)/ \4    log(2)/

$$1 \cdot \frac{35}{4} \left(\frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(34359738368 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{35}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

35*(-2*pi*I + log(34359738368))*(2*pi*I + log(34359738368))*(4*pi*I + log(34359738368))
---------------------------------------------------------------------------------------
                                             3                                         
                                      256*log (2)                                      

$$\frac{35 \left(\log{\left(34359738368 \right)} - 2 i \pi\right) \left(\log{\left(34359738368 \right)} + 2 i \pi\right) \left(\log{\left(34359738368 \right)} + 4 i \pi\right)}{256 \log{\left(2 \right)}^{3}}$$

Численный ответ

x1 = 8.75

x2 = 8.75 - 2.2661800709136*i

x3 = 8.75 + 2.2661800709136*i

x4 = 8.75 + 4.53236014182719*i

График