x^3+15*x^2+75*x+125=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+15*x^2+75*x+125=0

Вы ввели

 3       2                 
x  + 15*x  + 75*x + 125 = 0

$$\left(75 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 125 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(75 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 125 = 0$$
преобразуем
$$\left(75 x + \left(\left(15 x^{2} + \left(x^{3} + 125\right)\right) - 375\right)\right) + 375 = 0$$
или
$$\left(75 x + \left(\left(15 x^{2} + \left(x^{3} - \left(-5\right)^{3}\right)\right) - 15 \left(-5\right)^{2}\right)\right) - -375 = 0$$
$$75 \left(x + 5\right) + \left(15 \left(x^{2} - \left(-5\right)^{2}\right) + \left(x^{3} - \left(-5\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$75 \left(x + 5\right) + \left(\left(x - 5\right) 15 \left(x + 5\right) + \left(x + 5\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + \left(-5\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 5 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 5\right) \left(\left(15 \left(x - 5\right) + \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + \left(-5\right)^{2}\right)\right) + 75\right) = 0$$
или
$$\left(x + 5\right) \left(x^{2} + 10 x + 25\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -5$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 10 x + 25 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 10$$
$$c = 25$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(10)^2 - 4 * (1) * (25) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

x = -b/2a = -10/2/(1)

$$x_{2} = -5$$
Получаем окончательный ответ для x^3 + 15*x^2 + 75*x + 125 = 0:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -5$$

Быстрый ответ

x1 = -5

$$x_{1} = -5$$

Сумма и произведение корней

сумма

-5

$$-5$$

=

-5

$$-5$$

произведение

-5

$$-5$$

=

-5

$$-5$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 15$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 75$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 125$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -15$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 75$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 125$$

Численный ответ

x1 = -5.0

График