x^3=(33/5) (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^3=(33/5)

    Решение

    Вы ввели [src]
     3       
    x  = 33/5
    x3=335x^{3} = \frac{33}{5}
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x3=335x^{3} = \frac{33}{5}
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x33=3353\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{\frac{33}{5}}
    или
    x=5235333x = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 5^2/3*33^1/3/5

    Получим ответ: x = 5^(2/3)*33^(1/3)/5

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=335z^{3} = \frac{33}{5}
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=335r^{3} e^{3 i p} = \frac{33}{5}
    где
    r=5235333r = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left (3 p \right )} = 1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left (3 p \right )} = 0
    тогда
    p=2π3Np = \frac{2 \pi}{3} N
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=5235333z_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}
    z2=52310333356i10113523z_{2} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}
    z3=52310333+356i10113523z_{3} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=5235333x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}
    x2=52310333356i10113523x_{2} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}
    x3=52310333+356i10113523x_{3} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}
    График
    -10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.017.5-25002500
    Быстрый ответ [src]
          2/3 3 ____
         5   *\/ 33 
    x1 = -----------
              5     
    x1=5235333x_{1} = \frac{5^{\frac{2}{3}}}{5} \sqrt[3]{33}
            2/3 3 ____      5/6  2/3 3 ____
           5   *\/ 33    I*3   *5   *\/ 11 
    x2 = - ----------- - ------------------
                10               10        
    x2=52310333356i10113523x_{2} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}
            2/3 3 ____      5/6  2/3 3 ____
           5   *\/ 33    I*3   *5   *\/ 11 
    x3 = - ----------- + ------------------
                10               10        
    x3=52310333+356i10113523x_{3} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{10} \sqrt[3]{33} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{10} \sqrt[3]{11} \cdot 5^{\frac{2}{3}}
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.937888727683 - 1.62447092819*i
    x2 = 1.87577745537000
    x3 = -0.937888727683 + 1.62447092819*i
    График
    x^3=(33/5) (уравнение) /media/krcore-image-pods/c9b2/add4/6b24/f26b/im.png