Решение уравнений/ Любые/ z^4=-8-8*sqrt(3)*i

z^4=-8-8*sqrt(3)*i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^4=-8-8*sqrt(3)*i

    Виды выражений

    комплексные числа z^4=-8-8*sqrt(3)*i

    Решение

    Вы ввели [src]
     4            ___  
z  = -8 - 8*\/ 3 *I
    z4=−8−83iz^{4} = -8 - 8 \sqrt{3} i
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z4=−8−83iz^{4} = -8 - 8 \sqrt{3} i
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -8 - 8*i*sqrt(3) комплексное,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w4=−8−83iw^{4} = -8 - 8 \sqrt{3} i
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r4e4ip=−8−83ir^{4} e^{4 i p} = -8 - 8 \sqrt{3} i
    где
    r=2r = 2
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e4ip=−12−3i2e^{4 i p} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(4p)+cos⁡(4p)=−12−3i2i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
    значит
    cos⁡(4p)=−12\cos{\left(4 p \right)} = - \frac{1}{2}
    и
    sin⁡(4p)=−32\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
    тогда
    p=πN2+π12p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{12}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=−1−3iw_{1} = -1 - \sqrt{3} i
    w2=1+3iw_{2} = 1 + \sqrt{3} i
    w3=−3+iw_{3} = - \sqrt{3} + i
    w4=3−iw_{4} = \sqrt{3} - i
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=−1−3iz_{1} = -1 - \sqrt{3} i
    z2=1+3iz_{2} = 1 + \sqrt{3} i
    z3=−3+iz_{3} = - \sqrt{3} + i
    z4=3−iz_{4} = \sqrt{3} - i
    График
    Быстрый ответ [src]
                  ___
z1 = -1 - I*\/ 3
    z1=−1−3iz_{1} = -1 - \sqrt{3} i
    Упростить
                 ___
z2 = 1 + I*\/ 3
    z2=1+3iz_{2} = 1 + \sqrt{3} i
    Упростить
               ___
z3 = I - \/ 3
    z3=−3+iz_{3} = - \sqrt{3} + i
    Упростить
           ___    
z4 = \/ 3  - I
    z4=3−iz_{4} = \sqrt{3} - i
    Упростить
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                 ___           ___         ___     ___    
0 + -1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3  + I - \/ 3  + \/ 3  - I
    (3−i)+(((0−(1+3i))+(1+3i))−(3−i))\left(\sqrt{3} - i\right) + \left(\left(\left(0 - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(\sqrt{3} - i\right)\right)
    =
    0
    00
    произведение
      /         ___\ /        ___\ /      ___\ /  ___    \
1*\-1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /*\I - \/ 3 /*\\/ 3  - I/
    1(−1−3i)(1+3i)(−3+i)(3−i)1 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right) \left(- \sqrt{3} + i\right) \left(\sqrt{3} - i\right)
    =
              ___
8 + 8*I*\/ 3
    8+83i8 + 8 \sqrt{3} i
    Численный ответ [src]
    z1 = 1.0 + 1.73205080756888*i
    z2 = -1.73205080756888 + 1.0*i
    z3 = 1.73205080756888 - 1.0*i
    z4 = -1.0 - 1.73205080756888*i