Решите уравнение cos^2(x)-3sin(x)=3 (косинус от в квадрате (х) минус 3 синус от (х) равно 3) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

cos^2(x)-3sin(x)=3 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: cos^2(x)-3sin(x)=3

    Решение

    Вы ввели [src]
       2                  
    cos (x) - 3*sin(x) = 3
    $$- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 3$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$- 3 \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 3$$
    преобразуем
    $$- \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
    $$- \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left(x \right)}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = -3$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-3)^2 - 4 * (-1) * (-2) = 1

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = -2$$
    Упростить
    $$w_{2} = -1$$
    Упростить
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-2 \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(-2 \right)}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
         -pi 
    x1 = ----
          2  
    $$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
               /    /        ___\\         /    /        ___\\
               |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
    x2 = - 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------||
               \    \2      2   //         \    \2      2   //
    $$x_{2} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$
               /    /        ___\\         /    /        ___\\
               |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
    x3 = - 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------||
               \    \2      2   //         \    \2      2   //
    $$x_{3} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                 /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\
      pi         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
    - -- + - 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------|| + - 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------||
      2          \    \2      2   //         \    \2      2   //         \    \2      2   //         \    \2      2   //
    $$\left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) + \left(- \frac{\pi}{2} + \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)\right)$$
    =
          /    /        ___\\       /    /        ___\\              /    /        ___\\         /    /        ___\\
          |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||   pi         |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||
    - 2*re|atan|- + -------|| - 2*re|atan|- - -------|| - -- - 2*I*im|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- - -------||
          \    \2      2   //       \    \2      2   //   2          \    \2      2   //         \    \2      2   //
    $$- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - \frac{\pi}{2} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$
    произведение
         /      /    /        ___\\         /    /        ___\\\ /      /    /        ___\\         /    /        ___\\\
    -pi  |      |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 ||| |      |    |1   I*\/ 3 ||         |    |1   I*\/ 3 |||
    ----*|- 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------|||*|- 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------|||
     2   \      \    \2      2   //         \    \2      2   /// \      \    \2      2   //         \    \2      2   ///
    $$- \frac{\pi}{2} \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)$$
    =
          /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\
          |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 |||
    -2*pi*|I*im|atan|- + -------|| + re|atan|- + -------|||*|I*im|atan|- - -------|| + re|atan|- - -------|||
          \    \    \2      2   //     \    \2      2   /// \    \    \2      2   //     \    \2      2   ///
    $$- 2 \pi \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -1.57079643592753
    x2 = 42.411499623981
    x3 = 23.5619439476087
    x4 = -1.57079750976718
    x5 = -39.2699072001
    x6 = 67.5442411124523
    x7 = 80.1106131258933
    x8 = -70.6858362056521
    x9 = 86.3937991838764
    x10 = 86.3937978846111
    x11 = -14.1371668330045
    x12 = 92.6769825965004
    x13 = -51.8362800689455
    x14 = -58.1194652755223
    x15 = -83.252205621766
    x16 = 98.9601681345111
    x17 = -76.9690205215596
    x18 = -64.4026486357035
    x19 = -83.2522057303755
    x20 = -7.85398033085861
    x21 = -26.7035382845114
    x22 = -32.9867233573558
    x23 = -20.4203515415402
    x24 = 29.8451290461986
    x25 = -64.4026503817101
    x26 = -58.1194639946029
    x27 = -14.137165712426
    x28 = 98.9601693621606
    x29 = -26.7035370627234
    x30 = -95.8185746379701
    x31 = 10.9955738067263
    x32 = 42.4115020234932
    x33 = 80.1106139734736
    x34 = 42.4115007243278
    x35 = 92.6769842937343
    x36 = 61.2610560462538
    x37 = 67.5442423623837
    x38 = 61.2610572659518
    x39 = -89.5353894597802
    x40 = 17.2787601015562
    x41 = 36.128314235577
    x42 = -20.420353217116
    x43 = -20.4203519620403
    x44 = 4.71238996464902
    x45 = 10.9955750310968
    x46 = 54.9778721966225
    x47 = -1.57079513725467
    x48 = 86.3937967594975
    x49 = 73.8274285563163
    x50 = -7.85398291706691
    x51 = -7.85398149312115
    x52 = 54.9778709706831
    x53 = -26.7035371590356
    x54 = -45.5530946416303
    x55 = 80.1106113889501
    x56 = -58.119462849228
    x57 = 23.561945548455
    x58 = -83.2522043649715
    x59 = 73.8274262075815
    x60 = 17.2787588808883
    x61 = 4.71238870205705
    x62 = 10.9955750804564
    x63 = -51.8362786885144
    x64 = 48.6946858637558
    x65 = -102.101759987523
    x66 = -45.5530935961809
    x67 = 92.6769830253156
    x68 = 48.6946855079919
    x69 = -70.6858354499374
    x70 = -95.81857722002
    x71 = 73.8274274896162
    x72 = -39.2699086556123
    x73 = 4.71238842390387
    x74 = -89.535390756454
    x75 = -89.5353917714824
    x76 = -64.4026491240557
    x77 = 29.8451303283781
    x78 = -14.1371681148419
    x79 = -76.9690192998853
    x80 = -45.5530922983511
    x81 = 36.1283168216704
    x82 = 23.5619452001052
    x83 = 29.8451314227893
    x84 = -95.8185758678957
    x85 = 48.6946871292643
    x86 = 67.5442426341214
    x87 = -70.6858342268831
    x88 = -39.269908459783
    x89 = 36.1283157433771
    x90 = -32.9867221344084
    x91 = -51.836277484082
    График
    cos^2(x)-3sin(x)=3 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/3/43/75fa8b0073b5a48b49693d7a4a0b8.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: