(12+x)^3=4096 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (12+x)^3=4096

    Решение

    Вы ввели [src]
            3       
    (12 + x)  = 4096
    $$\left(x + 12\right)^{3} = 4096$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$\left(x + 12\right)^{3} = 4096$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{\left(x + 12\right)^{3}} = \sqrt[3]{4096}$$
    или
    $$x + 12 = 16$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 4$$
    Получим ответ: x = 4

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x + 12$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{3} = 4096$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 4096$$
    где
    $$r = 16$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    и
    $$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 16$$
    $$z_{2} = -8 - 8 \sqrt{3} i$$
    $$z_{3} = -8 + 8 \sqrt{3} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x + 12$$
    $$x = z - 12$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = -20 - 8 \sqrt{3} i$$
    $$x_{3} = -20 + 8 \sqrt{3} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 4
    $$x_{1} = 4$$
                     ___
    x2 = -20 - 8*I*\/ 3 
    $$x_{2} = -20 - 8 \sqrt{3} i$$
                     ___
    x3 = -20 + 8*I*\/ 3 
    $$x_{3} = -20 + 8 \sqrt{3} i$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 4.00000000000000
    x2 = -20.0 + 13.8564064606*i
    x3 = -20.0 - 13.8564064606*i