Решите уравнение z^3=1 (z в кубе равно 1) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

z^3=1 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=1

    Решение

    Вы ввели [src]
     3    
    z  = 1
    $$z^{3} = 1$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{3} = 1$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
    или
    $$z = 1$$
    Получим ответ: z = 1

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{3} = 1$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
    где
    $$r = 1$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = 1$$
    $$w_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$w_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = 1$$
    $$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    $$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = 1
    $$z_{1} = 1$$
                   ___
           1   I*\/ 3 
    z2 = - - - -------
           2      2   
    $$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
                   ___
           1   I*\/ 3 
    z3 = - - + -------
           2      2   
    $$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
    Численный ответ [src]
    z1 = 1.0
    z2 = -0.5 + 0.866025403784439*i
    z3 = -0.5 - 0.866025403784439*i
    График
    z^3=1 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/3/4e/cd9223f66e78229086767ce43b68f.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: