sqrt(0,25x) + sqrt(0,25x-1,25) = sqrt(2,5-0,25x) (уравнение)

Найду корень уравнения: sqrt(0,25x) + sqrt(0,25x-1,25) = sqrt(2,5-0,25x)

Вы ввели

    ___       _______       _______
   / x       / x   5       / 5   x 
  /  -  +   /  - - -  =   /  - - - 
\/   4    \/   4   4    \/   2   4 

$$\sqrt{\frac{x}{4}} + \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{x}{4}}$$

Упростить

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{\frac{x}{4}} + \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{x}{4}}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(\frac{\sqrt{x}}{2} + \sqrt{\frac{x}{4} - \frac{5}{4}}\right)^{2} = \frac{5}{2} - \frac{x}{4}$$
или
$$1^{2} \left(\frac{x}{4} - \frac{5}{4}\right) + \left(\frac{x}{4} + \frac{2}{2} \sqrt{x \left(\frac{x}{4} - \frac{5}{4}\right)}\right) = \frac{5}{2} - \frac{x}{4}$$
или
$$\frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4}} - \frac{5}{4} = \frac{5}{2} - \frac{x}{4}$$
преобразуем:
$$\sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4}} = \frac{15}{4} - \frac{3 x}{4}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} = \left(\frac{15}{4} - \frac{3 x}{4}\right)^{2}$$
$$\frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4} = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{8} + \frac{225}{16}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- \frac{5 x^{2}}{16} + \frac{35 x}{8} - \frac{225}{16} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = - \frac{5}{16}$$
$$b = \frac{35}{8}$$
$$c = - \frac{225}{16}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(35/8)^2 - 4 * (-5/16) * (-225/16) = 25/16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 9$$

Т.к.
$$\sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4}} = \frac{15}{4} - \frac{3 x}{4}$$
и
$$\sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{4}} \geq 0$$
то
$$\frac{15}{4} - \frac{3 x}{4} \geq 0$$
или
$$x \leq 5$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 5$$
проверяем:
$$x_{1} = 5$$
$$\frac{\sqrt{x_{1}}}{2} - \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{x_{1}}{4}} + \sqrt{\frac{x_{1}}{4} - \frac{5}{4}} = 0$$
=
$$- \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{5}{4}} + \left(\sqrt{- \frac{5}{4} + \frac{5}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4}}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 5$$

График

Построить график f1(x)

Построить график f2(x)

Быстрый ответ

x1 = 5

$$x_{1} = 5$$

Численный ответ

x1 = 5.0

График