Решите уравнение x^3-8=0 (х в кубе минус 8 равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^3-8=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^3-8=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     3        
    x  - 8 = 0
    $$x^{3} - 8 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{3} - 8 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
    или
    $$x = 2$$
    Получим ответ: x = 2

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{3} = 8$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 8$$
    где
    $$r = 2$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 2$$
    $$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
    $$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
    $$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 2
    $$x_{1} = 2$$
                  ___
    x2 = -1 - I*\/ 3 
    $$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
                  ___
    x3 = -1 + I*\/ 3 
    $$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                     ___            ___
    0 + 2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3 
    $$\left(\left(0 + 2\right) - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(1 - \sqrt{3} i\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
        /         ___\ /         ___\
    1*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /
    $$1 \cdot 2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right)$$
    =
    8
    $$8$$
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    $$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
    где
    $$p = \frac{b}{a}$$
    $$p = 0$$
    $$q = \frac{c}{a}$$
    $$q = 0$$
    $$v = \frac{d}{a}$$
    $$v = -8$$
    Формулы Виета
    $$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
    $$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
    $$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
    $$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
    $$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
    $$x_{1} x_{2} x_{3} = -8$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 2.0
    x2 = -1.0 - 1.73205080756888*i
    x3 = -1.0 + 1.73205080756888*i
    График
    x^3-8=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/0/d6/f96d531bb364ee2b95786436fac31.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: