(x+4)^4+(x+4)^4-20=0 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x+4)^4+(x+4)^4-20=0

    Решение

    Вы ввели [src]
           4          4         
    (x + 4)  + (x + 4)  - 20 = 0
    $$\left(\left(x + 4\right)^{4} + \left(x + 4\right)^{4}\right) - 20 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$\left(\left(x + 4\right)^{4} + \left(x + 4\right)^{4}\right) - 20 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\left(x + 4\right)^{4}} = \sqrt[4]{20}$$
    $$\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\left(x + 4\right)^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{20}$$
    или
    $$\sqrt[4]{2} \left(x + 4\right) = \sqrt{2} \sqrt[4]{5}$$
    $$\sqrt[4]{2} \left(x + 4\right) = - \sqrt{2} \sqrt[4]{5}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    2^1/44+x = sqrt(2)*5^(1/4)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    2^1/44+x = sqrt2*5^1/4

    Разделим обе части ур-ния на 2^(1/4)*(4 + x)/x
    x = sqrt(2)*5^(1/4) / (2^(1/4)*(4 + x)/x)

    Получим ответ: x = -4 + 10^(1/4)
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    2^1/44+x = -sqrt(2)*5^(1/4)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    2^1/44+x = -sqrt2*5^1/4

    Разделим обе части ур-ния на 2^(1/4)*(4 + x)/x
    x = -sqrt(2)*5^(1/4) / (2^(1/4)*(4 + x)/x)

    Получим ответ: x = -4 - 10^(1/4)
    или
    $$x_{1} = -4 - \sqrt[4]{10}$$
    $$x_{2} = -4 + \sqrt[4]{10}$$

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x + 4$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{4} = 10$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = 10$$
    где
    $$r = \sqrt[4]{10}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - \sqrt[4]{10}$$
    $$z_{2} = \sqrt[4]{10}$$
    $$z_{3} = - \sqrt[4]{10} i$$
    $$z_{4} = \sqrt[4]{10} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x + 4$$
    $$x = z - 4$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = -4 - \sqrt[4]{10}$$
    $$x_{2} = -4 + \sqrt[4]{10}$$
    $$x_{3} = -4 - \sqrt[4]{10} i$$
    $$x_{4} = -4 + \sqrt[4]{10} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
              4 ____
    x1 = -4 - \/ 10 
    $$x_{1} = -4 - \sqrt[4]{10}$$
              4 ____
    x2 = -4 + \/ 10 
    $$x_{2} = -4 + \sqrt[4]{10}$$
                4 ____
    x3 = -4 - I*\/ 10 
    $$x_{3} = -4 - \sqrt[4]{10} i$$
                4 ____
    x4 = -4 + I*\/ 10 
    $$x_{4} = -4 + \sqrt[4]{10} i$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -5.77827941003892
    x2 = -4.0 - 1.77827941003892*i
    x3 = -2.22172058996108
    x4 = -4.0 + 1.77827941003892*i
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: