Решите уравнение z^4=-4 (z в степени 4 равно минус 4) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

z^4=-4 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^4=-4

    Решение

    Вы ввели [src]
     4     
    z  = -4
    $$z^{4} = -4$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{4} = -4$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -4 < 0,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{4} = -4$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = -4$$
    где
    $$r = \sqrt{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = -1 - i$$
    $$w_{2} = -1 + i$$
    $$w_{3} = 1 - i$$
    $$w_{4} = 1 + i$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = -1 - i$$
    $$z_{2} = -1 + i$$
    $$z_{3} = 1 - i$$
    $$z_{4} = 1 + i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -1 - I
    $$z_{1} = -1 - i$$
    z2 = -1 + I
    $$z_{2} = -1 + i$$
    z3 = 1 - I
    $$z_{3} = 1 - i$$
    z4 = 1 + I
    $$z_{4} = 1 + i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
    -1 - I + -1 + I + 1 - I + 1 + I
    $$\left(\left(1 - i\right) + \left(\left(-1 - i\right) + \left(-1 + i\right)\right)\right) + \left(1 + i\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
    (-1 - I)*(-1 + I)*(1 - I)*(1 + I)
    $$\left(-1 - i\right) \left(-1 + i\right) \left(1 - i\right) \left(1 + i\right)$$
    =
    4
    $$4$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -1.0 + 1.0*i
    z2 = 1.0 + 1.0*i
    z3 = -1.0 - 1.0*i
    z4 = 1.0 - 1.0*i
    График
    z^4=-4 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/a/6a/8ba46e6ed8d279224e4f962e2abd6.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: