Решите уравнение x^4+32*x=0 (х в степени 4 плюс 32 умножить на х равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^4+32*x=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4+32*x=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     4           
    x  + 32*x = 0
    $$x^{4} + 32 x = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{4} + 32 x = 0$$
    Очевидно:
    x0 = 0

    далее,
    преобразуем
    $$\frac{1}{x^{3}} = - \frac{1}{32}$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{- \frac{1}{32}}}$$
    или
    $$x = - 2 \left(-2\right)^{\frac{2}{3}}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2*2^2/3

    Получим ответ: x = -2*(-2)^(2/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$\frac{1}{z^{3}} = - \frac{1}{32}$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = - \frac{1}{32}$$
    где
    $$r = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{- 3 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
    и
    $$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
    $$z_{2} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
    $$z_{3} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    x0 = 0

    $$x_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
    $$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
    $$x_{3} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 0
    $$x_{1} = 0$$
             2/3
    x2 = -2*2   
    $$x_{2} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
          2/3      2/3   ___
    x3 = 2    - I*2   *\/ 3 
    $$x_{3} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
          2/3      2/3   ___
    x4 = 2    + I*2   *\/ 3 
    $$x_{4} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
         2/3    2/3      2/3   ___    2/3      2/3   ___
    - 2*2    + 2    - I*2   *\/ 3  + 2    + I*2   *\/ 3 
    $$\left(- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + \left(2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right)\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
          2/3 / 2/3      2/3   ___\ / 2/3      2/3   ___\
    0*-2*2   *\2    - I*2   *\/ 3 /*\2    + I*2   *\/ 3 /
    $$0 \left(- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right) \left(2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right) \left(2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 1.5874010519682 - 2.74945927399721*i
    x2 = 0.0
    x3 = -3.1748021039364
    x4 = 1.5874010519682 + 2.74945927399721*i
    График
    x^4+32*x=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/ef40/1c75/79b2/3c11/im.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: