Решите уравнение z^6=-4096 (z в степени 6 равно минус 4096) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

z^6=-4096 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^6=-4096

    Решение

    Вы ввели [src]
     6        
    z  = -4096
    $$z^{6} = -4096$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{6} = -4096$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -4096 < 0,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{6} = -4096$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{6} e^{6 i p} = -4096$$
    где
    $$r = 4$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{6 i p} = -1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
    значит
    $$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
    и
    $$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = - 4 i$$
    $$w_{2} = 4 i$$
    $$w_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
    $$w_{4} = - 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    $$w_{5} = 2 \sqrt{3} - 2 i$$
    $$w_{6} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = - 4 i$$
    $$z_{2} = 4 i$$
    $$z_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
    $$z_{4} = - 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    $$z_{5} = 2 \sqrt{3} - 2 i$$
    $$z_{6} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -4*I
    $$z_{1} = - 4 i$$
    z2 = 4*I
    $$z_{2} = 4 i$$
                    ___
    z3 = -2*I - 2*\/ 3 
    $$z_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
               ___      
    z4 = - 2*\/ 3  + 2*I
    $$z_{4} = - 2 \sqrt{3} + 2 i$$
                    ___
    z5 = -2*I + 2*\/ 3 
    $$z_{5} = 2 \sqrt{3} - 2 i$$
                   ___
    z6 = 2*I + 2*\/ 3 
    $$z_{6} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    Численный ответ [src]
    z1 = 4.0*i
    z2 = -3.46410161513775 + 2.0*i
    z3 = -4.0*i
    z4 = -3.46410161513775 - 2.0*i
    z5 = 3.46410161513775 - 2.0*i
    z6 = 3.46410161513775 + 2.0*i
    График
    z^6=-4096 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/7/8a/bf992e10851555a3dc7e1adc089b4.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: