5*y+1=2^x (уравнение)

Найду корень уравнения: 5*y+1=2^x

Вы ввели

           x
5*y + 1 = 2 

$$5 y + 1 = 2^{x}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$5 y + 1 = 2^{x}$$
или
$$- 2^{x} + 5 y + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 1$$
получим
$$2^{x} - v v + v + 5 y = 0$$
или
$$- 2^{x} v^{2} + v + 5 y = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = - 2^{x}$$
$$b = 1$$
$$c = 5 y$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-2^x) * (5*y) = 1 + 20*y*2^x

Уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = - \frac{2^{- x}}{2} \left(\sqrt{20 \cdot 2^{x} y + 1} - 1\right)$$
$$v_{2} = - \frac{2^{- x}}{2} \left(- \sqrt{20 \cdot 2^{x} y + 1} - 1\right)$$
делаем обратную замену
$$1 = v$$
или
$$x = \tilde{\infty} \log{\left (v \right )}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (1 \right )}} \log{\left (- \frac{2^{- x}}{2} \left(\sqrt{20 \cdot 2^{x} y + 1} - 1\right) \right )} = \tilde{\infty} \log{\left (\frac{2^{- x}}{2} \left(- \sqrt{20 \cdot 2^{x} y + 1} + 1\right) \right )}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (1 \right )}} \log{\left (- \frac{2^{- x}}{2} \left(- \sqrt{20 \cdot 2^{x} y + 1} - 1\right) \right )} = \tilde{\infty} \log{\left (\frac{2^{- x}}{2} \left(\sqrt{20 \cdot 2^{x} y + 1} + 1\right) \right )}$$

Быстрый ответ

     log(|1 + 5*y|)   I*arg(1 + 5*y)
x1 = -------------- + --------------
         log(2)           log(2)    

$$x_{1} = \frac{\log{\left (\left|{5 y + 1}\right| \right )}}{\log{\left (2 \right )}} + \frac{i \arg{\left (5 y + 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$