cos(x)^(2)-2*sin(x)=-1/4 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке [, ]

    Найду корень уравнения: cos(x)^(2)-2*sin(x)=-1/4

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       2                     
    cos (x) - 2*sin(x) = -1/4
    $$- 2 \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{4}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано уравнение
    $$- 2 \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{4}$$
    преобразуем
    $$- 2 \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{4} = 0$$
    $$- \sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} + \frac{5}{4} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = -2$$
    $$c = \frac{5}{4}$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-2)^2 - 4 * (-1) * (5/4) = 9

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = - \frac{5}{2}$$
    $$w_{2} = \frac{1}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{5}{2} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{5}{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left (- \frac{5}{2} \right )}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left (\frac{5}{2} \right )}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    График
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
         pi
    x1 = --
         6 
    $$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
               /      ___\
    x2 = 2*atan\2 + \/ 3 /
    $$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
               /    /        ____\\         /    /        ____\\
               |    |2   I*\/ 21 ||         |    |2   I*\/ 21 ||
    x3 = - 2*re|atan|- - --------|| - 2*I*im|atan|- - --------||
               \    \5      5    //         \    \5      5    //
    $$x_{3} = - 2 \Re{\left(\operatorname{atan}{\left (\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{21} i}{5} \right )}\right)} - 2 i \Im{\left(\operatorname{atan}{\left (\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{21} i}{5} \right )}\right)}$$
               /    /        ____\\         /    /        ____\\
               |    |2   I*\/ 21 ||         |    |2   I*\/ 21 ||
    x4 = - 2*re|atan|- + --------|| - 2*I*im|atan|- + --------||
               \    \5      5    //         \    \5      5    //
    $$x_{4} = - 2 \Re{\left(\operatorname{atan}{\left (\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{21} i}{5} \right )}\right)} - 2 i \Im{\left(\operatorname{atan}{\left (\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{21} i}{5} \right )}\right)}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    x1 = -35.0811179651000
    x2 = -81.1578102177000
    x3 = -30.8923277603000
    x4 = -66.4970445010000
    x5 = -49.7418836818000
    x6 = -28.7979326579000
    x7 = 2.61799387799000
    x8 = 6.80678408278000
    x9 = 71.7330322570000
    x10 = -141.895268187000
    x11 = 84.2994028713000
    x12 = 19.3731546971000
    x13 = 69.6386371546000
    x14 = 88.4881930761000
    x15 = 59.1666616426000
    x16 = 82.2050077689000
    x17 = -93.7241808321000
    x18 = -100.007366139000
    x19 = -22.5147473507000
    x20 = 46.6002910282000
    x21 = -24.6091424531000
    x22 = 38.2227106187000
    x23 = -60.2138591938000
    x24 = -47.6474885794000
    x25 = 44.5058959259000
    x26 = -43.4586983747000
    x27 = 40.3171057211000
    x28 = 94.7713783833000
    x29 = -85.3466004225000
    x30 = -79.0634151153000
    x31 = 34.0339204139000
    x32 = -87.4409955249000
    x33 = 101.054563690000
    x34 = -74.8746249106000
    x35 = -12.0427718388000
    x36 = 52.8834763354000
    x37 = 50.7890812330000
    x38 = -68.5914396034000
    x39 = -62.3082542962000
    x40 = 21.4675497995000
    x41 = 138.753675534000
    x42 = -41.3643032723000
    x43 = 31.9395253115000
    x44 = 90.5825881785000
    x45 = -56.0250689890000
    x46 = -18.3259571459000
    x47 = -231.954257590000
    x48 = 75.9218224618000
    x49 = -3.66519142919000
    x50 = -106.290551446000
    x51 = -16.2315620435000
    x52 = 25.6563400043000
    x53 = -5.75958653158000
    x54 = 63.3554518474000
    x55 = 15.1843644924000
    x56 = 57.0722665402000
    x57 = -97.9129710369000
    x58 = -53.9306738866000
    x59 = 0.523598775598000
    x60 = -37.1755130675000
    x61 = 78.0162175641000
    x62 = 65.4498469498000
    x63 = -72.7802298082000
    x64 = 27.7507351067000
    x65 = 8.90117918517000
    x66 = 13.0899693900000
    x67 = 96.8657734857000
    x68 = -9.94837673637000
    x69 = -91.6297857297000