5*sin(x)-2*cos(x)^(2)=1 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 5*sin(x)-2*cos(x)^(2)=1

    Решение

    Вы ввели [src]
                    2       
    5*sin(x) - 2*cos (x) = 1
    $$5 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 1$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$5 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 1$$
    преобразуем
    $$2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} - 3 = 0$$
    $$2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} - 3 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left(x \right)}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = 5$$
    $$c = -3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (5)^2 - 4 * (2) * (-3) = 49

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \frac{1}{2}$$
    $$w_{2} = -3$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-3 \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(-3 \right)}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
         pi
    x1 = --
         6 
    $$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
         5*pi
    x2 = ----
          6  
    $$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
               /    /          ___\\         /    /          ___\\
               |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||
    x3 = - 2*re|atan|- - ---------|| - 2*I*im|atan|- - ---------||
               \    \3       3    //         \    \3       3    //
    $$x_{3} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}$$
               /    /          ___\\         /    /          ___\\
               |    |1   2*I*\/ 2 ||         |    |1   2*I*\/ 2 ||
    x4 = - 2*re|atan|- + ---------|| - 2*I*im|atan|- + ---------||
               \    \3       3    //         \    \3       3    //
    $$x_{4} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)}\right)}$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -30.8923277602996
    x2 = 2.61799387799149
    x3 = -87.4409955249159
    x4 = -79.0634151153431
    x5 = 57.0722665402146
    x6 = 40.317105721069
    x7 = 82.2050077689329
    x8 = 78.0162175641465
    x9 = -9.94837673636768
    x10 = 25.6563400043166
    x11 = -24.60914245312
    x12 = 84.2994028713261
    x13 = 101.054563690472
    x14 = 31.9395253114962
    x15 = 88.4881930761125
    x16 = 121.998514714404
    x17 = -97.9129710368819
    x18 = -41.3643032722656
    x19 = 71.733032256967
    x20 = -47.6474885794452
    x21 = -62.3082542961976
    x22 = -28.7979326579064
    x23 = 38.2227106186758
    x24 = 6.80678408277789
    x25 = 59.1666616426078
    x26 = 94.7713783832921
    x27 = -85.3466004225227
    x28 = 19.3731546971371
    x29 = -93.7241808320955
    x30 = -5.75958653158129
    x31 = -53.9306738866248
    x32 = -74.8746249105567
    x33 = 0.523598775598299
    x34 = -49.7418836818384
    x35 = -81.1578102177363
    x36 = -16.2315620435473
    x37 = 15.1843644923507
    x38 = 90.5825881785057
    x39 = 44.5058959258554
    x40 = 398.458668230305
    x41 = -3.66519142918809
    x42 = -43.4586983746588
    x43 = -66.497044500984
    x44 = 46.6002910282486
    x45 = -35.081117965086
    x46 = 27.7507351067098
    x47 = -22.5147473507269
    x48 = 8.90117918517108
    x49 = 65.4498469497874
    x50 = -361.806753938425
    x51 = 69.6386371545737
    x52 = 96.8657734856853
    x53 = -37.1755130674792
    x54 = 21.4675497995303
    x55 = -56.025068989018
    x56 = 75.9218224617533
    x57 = -72.7802298081635
    x58 = -18.3259571459405
    x59 = 50.789081233035
    x60 = -91.6297857297023
    x61 = -60.2138591938044
    x62 = 63.3554518473942
    x63 = 34.0339204138894
    x64 = 159.697626557481
    x65 = -100.007366139275
    x66 = 13.0899693899575
    x67 = -12.0427718387609
    x68 = 52.8834763354282
    x69 = -68.5914396033772
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: